Преобразование логических выражений

0 0 = 0 1 = 1 0 1 0 0 (1 ^ 0) = 0 (1 1) =1 (0 ^ 1) = (1 ^ 0) (0 ^ ¬1) 0 (¬1 ν 0) = 1 (0 ν ¬0)(1ν ¬1) (1 ^ 1 ν 0) 0 " width="640"

Определите истинность формул:

• 1 = 0
• 0 = 0
• 1 = 1
• 0 1
• 0 0
• (1 ^ 0) = 0

• (1 1) =1
• (0 ^ 1) = (1 ^ 0)
• (0 ^ ¬1) 0
• (¬1 ν 0) = 1
• (0 ν ¬0)(1ν ¬1)
• (1 ^ 1 ν 0) 0

тавтология

всегда истинное выражение

Например, докажем, что (X ^ Y) → (X v Y) является тавтологией

Некоторые тавтологии являются логическими законами.

Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе

Закон противоречия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным.

Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно

Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина

Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание

Законы Моргана

Правило коммутативности.

В алгебре:

ab=ba

a+b = b+a

Правило ассоциативности

В алгебре:

(ab)c=a(bc)

(a+b)+c =a+(b+c)

Правило дистрибутивности

В алгебре:

( a + b ) c=ac+bc

ПОДУМАЙТЕ

А & 1 = ?

А & 1 = А

А & 0 = 0

А & 0 = ?

РЕШИМ ЗАДАЧИ

Упростить логическое

выражение

(А & В) v (A  & ¬ В)

= А

Попробуйте привлечь на помощь алгебру.

РЕШИМ ЗАДАЧИ

Упростить логическое

выражение:

X V Y & ( X & Y)

= 0

РЕШИМ ЗАДАЧИ

Упростить логическое

выражение:

= 1

РЕШИМ ЗАДАЧИ

Упростить

логическое

выражение:

=

Попробуйте привлечь на помощь алгебру.

РЕШИМ ЗАДАЧИ

Упростить

логическое

выражение:

=

Попробуйте привлечь на помощь алгебру.

Подсказка: последнее слагаемое

домножить на единицу, т.е. на (у+у)

РЕШИМ ЗАДАЧИ

Упростить

логическое

выражение:

Попробуйте привлечь на помощь алгебру.

РЕШИМ ЗАДАЧИ

Упростить

логическое

выражение:

Попробуйте привлечь на помощь алгебру.

Домашнее задание

1. Докажите справедливость законов Моргана , используя таблицы истинности.

2. Упростите логические выражения с учетом правильной последовательности выполнения логических операций:

•     (A v ¬A) & B
•    A & (A v B) & (C v ¬B)
•    A & ¬B v B & C v ¬A & ¬B
•    A v ¬A & B