Приемы и методы решения текстовых задач при подготовке к ОГЭ

Приемы и методы решения текстовых задач при подготовке к ОГЭ

Захаренко Елена Леонидовна, учитель математики БОУ г. Омска «Лицей № 145», старший эксперт предметной комиссии по математике в основной школе

• Одной из основных методических линий в курсе математики является линия обучения учащихся умению решать текстовые задачи.
• Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требованиях.
• Сегодня мы рассмотрим типичные ошибки, рекомендации, правила оформления и решения текстовых задач.

Требования к выполнению задания

Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключается в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в основном может быть произвольным. Лаконичное решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, следует рассматривать как решение без недочетов.

Для успешного решения заданий с развернутым ответом необходимы не только хорошая математическая «база», но и умения проводить логические рассуждения, четко и грамотно излагать свои мысли.

Критерии оценивания задания 21

Баллы

Содержание критерия

2

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

1

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера, с её учётом решение доведено до ответа

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

2

Максимальный балл

Анализ текста задачи

• Внимательное чтение задачи.
• Первичный анализ текста: выделение вопроса задачи и ее условия.
• Оформление краткой записи текста задачи.
• Выполнение чертежей, рисунков по тексту задачи.

Основные типы задач в ОГЭ

• Задачи на движение.
• Задачи на работу.
• Задачи на смеси и сплавы.
• Задачи на проценты.

Основными типами задач на движение являются следующие

• 1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);
• 2) задачи на движение по замкнутой трассе;
• 3) задачи на среднюю скорость;
• 4) задачи на движение протяжённых тел;
• 5) задачи на движение по воде.

Памятка при решении задач на движение

Путь = скорость · время

При движении по реке:

• Скорость по течению = собственная скорость транспорта + скорость течения реки
• Скорость против течения = собственная скорость транспорта - скорость течения реки

Движение навстречу

Расстояние между городами А и В равно 580 км. Из города А в город В со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Через сколько часов после выезда второго автомобиля автомобили встретятся?

Решение.

1) Находим какое расстояние до выезда второго автомобиля проедет первый.

Поскольку он будет в пути 2 часа получим:

80 ∙ 2 = 160 (км.)

2) Найдем расстояние между автомобилями через 2 часа, после того, как выедет первая машина.

580 - 160 = 420 (км.)

3) Определим, с какой скоростью машины будут двигаться навстречу друг другу, т.е скорость сближения.

80 + 60 = 140 (км/ч.)

4) Найдем время, за которое машины встретятся.

Делим 420 км на скорость сближения.

420 : 140 = 3 (ч.)

Ответ. Машины встретятся через 3 часа после выезда 2 автомобиля.

Решение.

1) 80 ∙ 2=160(км) – проехал первый автомобиль

2) (580-160): (80+60)=3(ч)

Ответ: 3 ч

Движение вдогонку

Два пешехода отправляются из одного и того же места в одном направлении на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 200 метрам?

Решение.

Скорость первого относительного второго: V1-V2=1 км/ч

200м = 0,2км.; 

t= 0,2 : 1= 0,2(ч)

0, 2 часа=12 минут

Ответ. Через 12 минут расстояние между пешеходами станет равным 200 метрам.

2 способ решения.

Решение.

Переведем скорость одного из пешеходом в метры.

1 км = 1000 метров. 1 час = 60 минут.

Следовательно, скорость пешехода будет 1000 метров за 60 минут.

Составим пропорцию для решение данной задачи. Через х обозначим время, за которое пешеход пройдет двести метров. 

1000 метров - 60 минут.

200 метров - х минут.

Решим пропорцию, выполнив "накрест" умножение, а результат разделим на 1000.

х = (200 ∙ 60) / 1000.

х = 12 минут.

Ответ. Расстояние между пешеходами станет равным двести метров через 12 минут.

Движение по окружности (замкнутой трассе)

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть скорость второго автомобиля(х)км/ч. Так как 40 минут =  часа и это время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим уравнение:

= ; 30 = 180 – 2х; 2х = 150; х = 75.

Ответ. Скорость второго автомобиля 75 км/ч.

Средняя скорость

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть (2s) км - весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:

2s : ( + ) = 2s : = 2s : = 38,4 (км/ч.)

Поэтому средняя скорость путешественника 38,4 км/ч.

Ответ: 38,4 км/ч.

Движение протяжённых тел

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 65 км/ч, проезжает

мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно

путям со скоростью 5 км/ч, за 30 секунд. Найдите длину

поезда в метрах.

Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда равна 65-5 =60 (км/ч)

60 км/ч = = (м/с)

l =v ∙ t = = 500(м)

Ответ. Длина поезда 500м.

Движение по воде

От лесоповала вниз по течению реки движется со скоростью

3 км/ч плот. Плотовщик доплывает на моторке из конца

плота к его началу и обратно за 16 минут 40 секунд. Найдите

длину плота, если собственная скорость моторки равна 15км/ч.

Ответ дайте в километрах.

Решение.

Пусть длина плота (х) км. Тогда скорость моторки по

течению 18 км/ч, а против течения 12 км/ч. Так как

16 минут 40 секунд = часа, то + =

2х + 3х = 10;

5х = 10;

х = 2.

Итак, 2 км- длина плота.

Ответ: 2 км.

Я бы посоветовала для наглядности некоторые задачи

решать через таблицу.

Алгоритм решения:

• Введем неизвестную величину.
• Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
• Выясняем, на какой вид движения эта задача.
• Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестную величину все остальные.
• Исходя из условия, составляем равенство и преобразуем его.
• Решаем уравнение.
• Определяем величины, которые еще нужно найти.
• Записываем ответ.

Из пункта  А  в пункт  В , расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Пусть (х) км/ч скорость велосипедиста.

Велосипедист

V , км/ч

t ,ч

Автомобилист

Х

S, км

х+40

50

50

Известно, что велосипедист был в пути на 4 часа больше, отсюда имеем: на 4 ч.

Составим и решим уравнение: - = 4 | ∙ х(х+40) ≠ 0

х ≠0, х≠-40

50(х+40) – 50х = 4х(х+40)

50х + 2000 – 50х -4 -160х = 0 | : (-4)

+ 40х – 500 = 0

х= 10

х= -50

х ≠0

х≠ -40

х =10 = посторонних корней нет.

х = -50

Т.к v 0, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 10.

Итак, 10 км/ч- скорость велосипедиста.

Ответ. 10 км/ч .

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ ч. Пусть (х) км/ч скорость течения реки.

S,км

По течению

V ,км/ч

Против течения

112

t ,ч

11+х

112

112/(11+х)

11-х

112/(11-х)

Известно, что на обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше , отсюда имеем: на 6 ч.

Составим и решим уравнение: - = 6 | ∙ (11-х)(11+х) ≠ 0

х ≠11, х≠-11

112(11+х) -112(11-х)= 6(11+х)(11-х)

112∙ 11 + 112х - 112∙ 11 + 112х = 726 -6

6 +224х- 726= 0 |:2

3 +112х -363 = 0

Д = 16900

х= 3

х= -

х ≠11

х≠ -11

х = 3 = посторонних корней нет.

х = -

Т.к v 0, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 3.

Итак, 3 км/ч -скорость течения реки .

Ответ. 3 км/ч .

Задачи на работу

Работу характеризуют три компонента действия:

• Время работы
• Объем работы
• Производительность (количество произведенной работы в единицу времени).

Существует следующее соотношение между этими компонентами:

• Объем работы = время работы • производительность

Задачи на совместную работу

Задачи на движение

А (работа)

S (расстояние)

Р (производительность)

V ( скорость)

t (время)

t (время)

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее чем первая труба. Пусть (х) л/мин воды пропускает вторая труба, тогда первая труба пропускает ( х  − 1) л/мин.

А (S),л

Первая

Р (V),л/мин

Вторая

110

t ,мин

х-1

110

110/(х-1)

х

110/х

Известно,что резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем: на 1 минуту.

Составим и решим уравнение: - = 1 | ∙х(х-1) ≠ 0

х ≠0, х ≠ 1

110х-110(х-1)= х(х-1)

110х-110х+110= -х

-х -110= 0

х= -10

х= 11

х ≠0

х ≠ 1 = посторонних корней нет.

х=-10

х= 11

Т.к Р(v) 0, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 11.

Итак, 11 л/мин воды пропускает вторая труба.

Ответ. 11 л/мин .

На изготовление 416 деталей первый рабочий тратит на 10 часов меньше , чем второй рабочий на изготовление 546 таких же деталей. Известно, что первый рабочий делает за час на 5 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий? Пусть (х) деталей в час делает первый рабочий.

A , всего деталей

I

P, дет/ч

II

416

t, ч

х

546

416/х

х-5

546/(х-5)

Известно, что первый рабочий тратит на 10 часов меньше , чем второй рабочий, отсюда имеем: на 10 ч.

Составим и решим уравнение: - = 10 | ∙х(х-5) ≠ 0

х ≠0, х ≠ 5

х= 26

х= -8

х ≠0

х ≠ 5 = посторонних корней нет.

х=-8

х= 26

Т.к количество деталей- число положительное, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 26.

Итак, 26 деталей в час делает первый рабочий.

Ответ. 26 деталей .

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая вместе ? Пусть 1 –вся работа. Р=А/t Здесь работают трое, переменных в этой задаче будет три.   Пусть х — производительность Игоря, у — производительность Паши, а z — производительность Володи. Работа равна единице.

х+у

А – объем работы

Р-производительность

у+z

1

t-время

х+z

1

1/9

х+у+z

1/12

9

1

1/18

1

12

18

1/?

?

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. При совместной работе производительности складываются.

Запишем уравнение (х+у) 9= 1.

Игорь и Володя красят забор за 12 часов, аналогично:  (y+z) 12=1.

Володя и Игорь красят забор за 18 часов, значит: (x+z) 18=1.

Имеем три уравнения с тремя неизвестными. Составим и решим систему уравнений:

В данном случае можно вычислять переменные по отдельности, но лучше сложить все три уравнения. Получим, что:

Значит, работая втроем, Игорь, Паша и Володя красят за  час одну восьмую часть забора. Таким образом, весь забор они покрасят за 8 часов.

Ответ: 8ч.

Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы»

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

• концентрация (доля чистого вещества в смеси);
• количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
• масса смеси (сплава).

Соотношение между этими величинами следующее:

• масса смеси • концентрация = количество чистого вещества

Схему оформляют в виде прямоугольников, разделённых пополам.

Имеется два сплава . Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение.

Пусть (х) кг-масса первого сплава.

% кг % кг % кг

15

х

+

65

200-х

=

30

200

Составим и решим уравнение:

0,15х + 0,65 ∙ (200-х) = 0,3 ∙ 200

0,15х +130 -0,65х = 60

• 0,5х = 60 – 130
• 0,5х = -70

х =140.

Итак, первого сплава нужно взять 140 кг, тогда

200- 140= 60(кг) нужно взять второго сплава.

Ответ. 140 кг, 60 кг.

2 способ решения.

Пусть (х) кг-масса первого сплава, (у) кг-масса второго сплава.

% кг % кг % кг

15

х

+

65

у

=

30

200

Составим и решим систему уравнений:

0,15х + 0,65у = 0,3 ∙ 200

х + у = 200

х =200-у

0,15 ∙ (200-у) +0,65у = 60

30 - 0,15у + 0,65у = 60

0,5у = 30

у= 30:0,5

у = 60.

х =200-60 = 140.

Итак, первого сплава нужно взять 140 кг, второго -60 кг.

Ответ. 140 кг, 60 кг.

В сосуд, содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора вещества, добавили

4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Пусть (х) %- концентрация получившегося раствора.

% л % л % л

27

5

+

0

4

=

х

9

Составим и решим уравнение:

0,27 ∙ 5+ 4 ∙ 0 = 0,09х

0,09х = 1,35

х = 1,35:0,09

х = 15.

Итак, 15% -концентрация получившегося раствора.

Ответ. 15%.

Задачи на проценты

Процентом числа называется его сотая часть.

Решение задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:

• нахождение процентов от числа;
• нахождение числа по его процентам;
• нахождение процентного отношения чисел.

На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева — в 3 раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

Решение.

Заметим, что победителем на выборах окажется Зайцев.

Пусть (x) – количество процентов голосов, отданных за Иванова и Журавлёва.

(зх)- за Зайцева .

Составляем и решаем уравнение:

x + 3x = 100

4x = 100

x = 100:4

х= 25.

Итак,25% голосов отдано за Иванова и Журавлёва.

25 ∙ 3 = 75(%) - за Зайцева .

Ответ. За победителя Зайцева было отдано 75 % голосов.

Задачи на процентное содержание влаги

Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?

Решение.

Заметим, что при сушке фруктов вода испаряется, поэтому необходимо рассматривать не количество воды, а количество питательного вещества, которое остается неизменным.

Пусть (х) кг требуется свежих фруктов.

Свежие фрукты содержат 100% − 93% = 7 % питательного вещества, а высушенные —

100% − 16% = 84 %.

Тогда сухая часть в них (полностью без воды) составит (0,07х) кг.

Сухая часть в 21 кг высушенных фруктов составит (0,84∙21) кг.

Составим уравнение: 0,07х = 0,84∙21

Решив уравнение, получим х=252.

Ответ: 252 кг.

Типичные ошибки при выполнении 21 задания

• Неверное составление уравнения ( системы уравнений).Причина: неверное понимание условия задачи.
• Время переводится из секунд в часы, но допускаются ошибки.
• Не выполнен перевод единиц измерения.
• Не выполнен перевод в ответе км в м.
• Вычислительная ошибка( -7+5=2 не является вычислительной ошибкой)

Рекомендации:

• Если не владеете символикой, не используйте ее.
• Очень важно то, что вы пишите в ответ. Ответ писать с наименованием величины.
• Учить приемам самопроверки.

Способы проверки решения задачи

• Самый элементарный – прикидка ответа (установление границ искомого числа). Прикидка позволяет заметить неправильность рассуждения, несоответствие между величинами, но для многих задач не применим.
• Самый полезный, универсальный – составление и решение обратной задачи. Этот способ проверки развивает мышление, рассуждение, но громоздкий и отнимает много времени.
• Самый надежный способ проверки – решение задачи другим способом.

Спасибо за внимание !