Презентация " Геометрический смысл определённого интеграла.Вычисление площадей фигур с помощью интеграла"

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.

a

∫ f(x)dx

b

y

0

a

b

x

Пусть функция y=f(x) - непрерывная

на отрезке [a ; b] ,

причём на этом отрезке f(x) ≥ 0 .

y = f (x)

D

y

Линии, ограничивающие данную фигуру:

y=f(x) ;

[a ; b] Є Ох;

x=a ;

x=b ;

B

C

E

A

a

0

x

b

ABCDE - криволинейная трапеция.

2 .Площадь криволинейной трапеции.

S ABCDE = ?

y

S ABCDE ≈ S 1 + S 2 +…+ S n

D

Если n ∞ , тогда

S ABCDE Σ S n .

B

S n

C

S 2

S 1

E

y=f(x)

A

0

x

b

a

Σ Sn - интегральные суммы.

b

b

∫ f(x)dx = S ABCDE

lim Σ S n = ∫ f(x)dx

n ∞

a

a

Определённый интеграл

Рассмотрим непрерывную на некотором отрезке [a ; b] функцию y=f(x) , тогда

Верхний предел интегрирования

b

b

Формула Ньютона - Лейбница

∫ f(x)dx =

F(x)+C

= F(b) – F(a)

а

a

Нижний предел интегрирования

b

∫ f(x)dx = S ABCDE

число

a

Вычисление определённого интеграла

по формуле Ньютона - Лейбница

b

b

∫ f(x)dx =

F(x)

= F(b) – F(a)

а

a

П

П

∫ sinx dx

Пример:

= - cosx

= - cos П – (- cos 0) =

0

0

= 1 – (- 1 ) = 2

у

2П

0

П

х

Определённый интеграл – площадь криволинейной трапеции.

?

Какие требования предъявляются

к криволинейной трапеции?

Криволинейная трапеция должна быть ограничена:

1 .Отрезком [ a ; b] , лежащим на оси Х.

2 . Прямыми х=а ; х= b .

3.Графиком функции y = f (x) , где f (x) ≥ 0 на [a ; b] .

у

y = f (x)

b

0

х

а

2. График.

f(x) ≥ 0 на [2 ;4 ]

ABCDE- криволинейная трапеция .

y

D

2

Примеры: 1) f(x)= x x=2 ; x=4

C

B

S ф- ?

E

A

x

0

1 2 3 4

Решение:

4

• f(x)=X

4

2

3. S ABCDE =

∫ x dx =

x /3 =

2

3

x

y

0

1

0

2

1

4

2

2

=64/3-8/3=56/3

3.Вычисление площадей фигур с помощью интеграла.

а) Пусть фигура ограничена графиком непрерывной функции

y= f(x) , причём f(x) ≤ 0 на [a ; b].

Фигура ABC - не является

криволинейной трапецией.

S ABC = ?

тогда

рассмотрим функцию y = - f(x)

– f(x) ≥ 0 на [a ; b]

фигура AB 1 C - -криволинейная трапеция.

S ABC = S AB 1 C =

y

B 1

C

A

a

b

x

B

b

b

∫ (-f(x)) dx =

- ∫ f(x) dx

a

a

C

Задачи по готовым чертежам:

y

2. График.

Дано:

f(x)=- √ x

x=0

x=4

S ф-?

1 2 3 4

f(x) ≤ 0 на [0 ; 4]

0

x

A

B

4

S OABC = - ∫ (- √ x)dx =

Решение:

0

4

4

= ∫ √ x dx =

1. f (x)=- √ x

0

3x √ x /2 =

0

x

y

0

1

0

4

-1

-2

= 12

=3* 4 √ 4/2 – 0

0 на отрезке [a ; b] ABCDE- криволинейная трапеция C b S ф y=g(x) S ABCDE = ∫ f(x)dx a D g(x ) 0 на отрезке [a ; b] AB М DE- криволинейная трапеция B М E A a b 0 b x S ABMDE = ∫ g(x)dx y=f(x) a " width="640"

б) Площадь фигуры, ограниченной двумя графиками непрерывных функций.

Пусть фигура ограничена графиками непрерывных на [a ; b] функций y=f(x) и y=g(x) .

S ф -?

y

f(x) 0 на отрезке [a ; b]

ABCDE- криволинейная трапеция

C

b

S ф

y=g(x)

S ABCDE = ∫ f(x)dx

a

D

g(x ) 0 на отрезке [a ; b]

AB М DE- криволинейная трапеция

B

М

E

A

a

b

0

b

x

S ABMDE = ∫ g(x)dx

y=f(x)

a

b

b

S ABMDE = ∫ g(x)dx

S ABCDE = ∫ f(x)dx

a

a

S ф -?

S ф= S ABCDE - S ABMDE

y

b

b

C

S ф = ∫ f (x)dx - ∫ g (x)dx=

= ∫ ( f (x)- g (x) ) dx ,

a

где f(x) ≥ g(x) на отрезке [a ; b]

y=g(x)

a

a

S ф

b

D

B

М

E

A

a

b

0

x

y=f(x)

3

Разбор решения задачи по алгоритму.

y

Дано:

y=f(x)

f(x) = (x – 2) ² ;

g(x) = - (х-2) ² + 2 ;

S

S ф -?

1

Решение:

• Фигура ограничена графиками

двух непрерывных функций.

0

x

3

y=g(x)

2. Найдём пределы интегрирования:

- (x – 2) ² + 2 = (х-2) ² ;

Х 1 = 1; Х 2 = 3.

3. Найдём площадь полученной фигуры S :

3

S ф = ∫ ( g(x) - f(x) ) dx=

Т.к. на [ 1;3 ] g(x) ≥ f(x) , то

1

3

3

2

= ∫ ( - (х-2) ² + 2 - (x – 2) ² ) dx=

2X ³

∫ (- 2 x²+8x- 6 ) dx=

(- + 4x² - 6 x ) =

2

3

3

1

1

1

у

1. Найдите фигуру, ограниченную графиками данных функций.

B

y=h(x)

A

C

S 2

y=g(x)

S 1

2. Является данная фигура криволинейной трапецией?

х

0

b

c

а

D

3. Как найти площадь данной фигуры?

К

y=f(x)

Прямая х = с разбивает фигуру АВС D на две фигуры :

АВК D и ВСК.

S ABCD =

S ABKD + S BCK ,

где фигуры ABKD и ВСК ограничены графиками только двух функций.

Итоговая схема « Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла».

Данная фигура

Криволинейная трапеция

Не является криволинейной трапецией

Ограничена тремя и более графиками непрерывных на данном отрезке функций.

S ф = ∫ f(x)dx

b

Ограничена графиком одной непрерывной на данном отрезке функции у= f (х), причём f (х) ≤0 на данном отрезке.

Ограничена двумя графиками непрерывных функций.

a

1.Необходимо разбить данную фигуру

на более простые.

2.Находить площадь полученных фигур, определяя их вид.

Если на [a ; b]

f(x) ≥ g(x) , то

S ф = ∫ (f(x) – g(x))dx

b

S ф = - ∫ f(x)dx

b

a

a

Самостоятельная работа

На предложенных далее рисунках изображены

различные фигуры.

1. Выберете из них те, на которых изображены криволинейные трапеции (запишите их номера)

2. Запишите формулы для вычисления площадей этих криволинейных трапеций.

3. Определите способы вычисления площадей всех оставшихся фигур.

у

у

3.

2.

1 .

у

у= f(x)

у= f(x)

у= f(x)

0

a

a

х

0

а

х

b

х

у

6.

5.

у

4.

у

у= f(x)

у= g(x)

у= f(x)

у= f(x)

х

a

с

a

b

х

0

a

b

х

8.

9.

7.

у

у

у= f(x)

у

b

0

х

b

a

х

b

0

у= f(x)

a

х

с

у= f(x)

у= g(x)

11.

y

10.

12.

y

y

у= g(x)

у= f(x)

у= g(x)

у= h(x)

d

a

x

c

x

b

b

x

a

a

b

у= f(x)

у= f(x)

13 .

14.

у= f(x)

у

у

y = f(x)

a

b

х

0

у= h(x)

b

с

d

а

0

х

y=g(x)

у= g(x)