Программа элективного курса для учащихся 9 класса по математике "Исследование функций"

Институт непрерывного педагогического образования

Программа курса по выбору

для учащихся 9 класса

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Программу составил

учитель математики

I квалификационной категории

МОУ «Средняя общеобразовательная

школа №2» г. Менделеевска

Самуткин Э.В.

г. Набережные Челны

2006 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Изменение содержания школьного курса математики заключается не только во введении новых тем и вопросов, но в большей мере в современном изучении традиционных вопросов школьной математики. Содержание математического образования можно представить в виде нескольких крупных блоков, одним из которых является функции. Функциональная идея реализуется как в специальном изучении вопросов, непосредственно относящихся к понятию функции, так и в придании большинству понятий математики основной школы функциональной направленности. Изучение функций имеет большое практическое значение (в физике, биологии, технике и т.д.). В последнее время с развитием науки еще большее число реальных процессов начали обобщать с помощью функций. Предлагаемый курс способствует изучению начальных основ математики и алгебры с функциональной точки зрения. Осуществление такого подхода к изучению основных понятий математики дает возможность значительно раньше с помощью графического, а иногда аналитического методов сознательно изучить свойства основных элементарных функций. Также рассматриваются некоторые пути применения свойств рассмотренных функций к решению уравнений и практических задач.

Данный курс предполагает более глубокое изучение некоторых элементарных функций, что необходимо для развития математической культуры учащихся, формирования устойчивых и прочных знаний.

Курс рассчитан на 18 часов: 9 теории и 9 практики.

ЦЕЛИ КУРСА.

1. Расширить класс функций, свойства и графики которых известны учащимся.

2. Выработать умение строить графики функций.

3. Сформировать навыки работы с графическими моделями.

4. Развивать умения и навыки по исследованию функций.

ЗАДАЧИ КУРСА

1. Познакомить учащихся с основными элементарными функциями.

2. Изучить свойства элементарных функций.

3. Рассмотреть функции как математические модели, описывающие разнообразные зависимости между реальными величинами.

4. Рассмотреть исследование свойств функций графическим и аналитическим методами.

5. Повторить и закрепить способы задания функций.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ КУРСА

В результате освоения программы курса учащиеся должны:

• определять значение функций по значению аргумента при различных способах задания функций;

• иметь наглядные представления об основных свойствах функций, иллюстрировать их с помощью графических изображений;

• изображать графики основных элементарных функций;

• опираясь на графики, описывать свойства этих функций;

• уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений;

• уметь исследовать функции, находить наибольшее и наименьшее значения;

• использовать свойства функции при решении уравнений и неравенств;

• освоить способы задания функций;

• различать область определения и область значений;

Программа предполагает развитие у учащихся навыков:

• вычисления значения функций;

• построения графиков функций;

• проведения исследования функций;

• преобразования графиков функций;

• решения уравнений и неравенств с применением свойств функций.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п/п	Наименование тем урока	Всего часов	В том числе		Форма контроля
			лекция	практика
1	Определение функций	1	1
2	Линейная функция и ее график. Прямая пропорциональность и ее график	1	1
3	Исследование свойств линейной функции графическим методом	2	1	1
4	Исследование свойств линейной функции аналитическим методом	2	1	1	С.р.
5	Применение линейной функции к решению задач оптимизации	1	1
6	Квадратичная функция. Исследование квадратичной функции.	5	2	3	С.р.
7	Исследование свойств функций, содержащих знак модуля.	3	1	2
8	Функция f(x)=ax3	2	1	1	С.р.
9	Заключительное занятие (семинарское занятие)	1

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

1. Определение функции.

Ввести определение функции. Познакомить со способами задания функции. Ввести понятия аргумент, область определения, область значений функции. Рассмотреть примеры нахождения области определения и области значений функции.

1. Линейная функция и ее график. Прямая пропорциональность и ее график.

Изучение начинается с частного случая линейной функции – прямой пропорциональной зависимости. Исследуется расположение прямой в зависимости от углового коэффициента. Рассмотреть вопрос о получении графика линейной функции из соответствующего графика прямой пропорциональности. Рассмотреть реальные процессы, свойства которых обобщает линейная функция.

1. Исследование свойств линейной функции графическим методом.

Рассмотреть расположение точек каждого графика линейной функции на координатной плоскости. Сделать вывод относительно положения графика в координатной плоскости в зависимости от к и в Познакомить со схемой изучения свойств линейной функции графическим методом.

1. Исследование свойств линейной функции аналитическим методом.

Отметить недостатки графического метода исследования функции. Рассмотреть ряд задач необходимых для введения понятия приращения функции. Рассмотреть примеры показывающие как изменение значений аргумента влечет за собой определенное изменение значений функции. Познакомить с характеристическим свойством линейной функции и отметить, что данным свойством обладает только линейная функция. Ввести схему исследования линейной функции аналитическим методом.

1. Применение линейной функции к решению задач оптимизации.

Рассмотреть применение некоторых свойств функции к решению практических задач; познакомить учащихся с понятиями «наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченной области определения», «целевая функция», «математическая модель».

1. Квадратичная функция. Исследование квадратичной функции.

Познакомить учащихся с планом исследования свойств функций элементарными способами. Разобрать план исследования свойств функций f(x)=ax², f(x)=ax²+c, f(x)=a(x+m)², f(x)=ax²+bx+c. Уделить внимание понятиям максимум, минимум, т.к. они находят практическое применение. Необходимо отметить, что возможны функции, у которых есть несколько максимумов и минимумов и среди них есть наибольший максимум и наименьший минимум. Рассмотреть расположение графиков данных функций в зависимости от а, с, т.

1. Исследование свойств функций, содержащих знак модуля.

Дать четкое определение модуля величины. Познакомить с единым методом исследования функций со знаком модуля. Рассмотреть исследование свойств на конкретном примере функции, содержащей знак модуля.

1. Функция f(x)=ax³.

Познакомить учащихся с частным случаем степенной функции f(x)=ax³. Рассмотреть исследование ее свойств.

1. Заключительное занятие

Семинарское занятие

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Определение функции.

№ 1. Брату n лет, а сестра на 3 года моложе. Сколько лет сестре? Установить область определения функции (область изменения аргумента).

Решение:

f(n)=n-3.

Согласно выполнимости операций в области действительных чисел n может быть любым числом. Учитывая же реальный смысл задачи, n может быть только положительным числом. Далее, оно не может принимать значения, меньшие или равные 3. Если считать продолжительность жизни человека не превосходящей 200 лет, то областью определения значений функции будет множество положительных числе от 4 до 200.

№2. Задана функция таблично:

t 0	-150	-50	0	100	200	300
V мм3	200	202	203	207	220	245

Какова область определения этой функции?

Ответ: Областью определения этой функции будет множество

№3. Дано соответствие между:

а) множеством значений высоты прямоугольника и множеством значений основания при постоянной площади;

б) множеством значений веса товара и множеством значений стоимости его при постоянной цене единицы товара;

Указать в каждом соответствии: 1) аргумент и функцию; 2) записать в каждом случае закон соответствия аналитически, таблично и графически; 3) установить в каждом случае область определения функции.

№4. Указать область определения функций:

а) f(x)=2x+1 б) f(x)= в) f(x)= г) f(x)=

№5. Установить область определения функции.

x	-3	-2	-1	0	1	2	…
f(x)=x2	9	4	1	0	1	4	…

№6. Дано соответствие между периметром квадрата и длиной его стороны.

а) Выбрать аргумент в данном соответствии.

б) Записать закон соответствия аналитически и таблично.

в) Установить область определения данной функции.

№7. Установить область определения значений функции.

f(x)=2x+5.

1. Линейная функция и ее график. Прямая пропорциональность и ее график.

№1. В одной и той же координатной плоскости построить графики функций: f(x)=-x-1; f(x)=3x-1; f(x)=3x.

№2. Начертите график линейной функции по точкам А(0;-1) и В (2;0).

№3. Написать уравнение прямой, параллельной прямой f(x)=1,5x и проходящей через точку В (0;3).

№4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) у=-1,2х+4,8 б) у=3,5х+7.

№5. В какой точке пересекает ось х график функции, заданной формулой у=0,5х-20.

№6. Не выполняя построения графика функции у=0,5х-8, выясните, проходит ли этот график через точку: а) А(0;-8); б) В(1;7,5).

№7. Постройте график функции, заданной формулой у=-0,5х. С помощью графика найдите:

а) значение у, соответствующее х, равному –2; 4; 1.

б) при каком х значение у равно –1; 0; 2,5.

Существует ли такое х, при котором у=-150? Если существует, то вычислите его.

1. Исследование свойств линейной функции графическим методом.

№1. Исследовать функцию f(x)=x-1 графическим методом.

Решение:

1. начертите график по точкам А(0;-1) и В(2;0).

у

2

х

-1

1. Установим область определения значений функции. Значения аргумента рассматриваем во множестве действительных чисел. Операции умножения (х) и вычитания (х-1) во множестве действительных чисел выполнимы, значит область определения значений функций есть любое действительное число. На графике это множество чисел оси ОХ.

2. Установим область изменения значений функции. Действия умножения (х) и вычитания (х-1) выполнимы в области действительных чисел, следовательно, множество действительных чисел есть область изменения значений функции. На графике это множество чисел оси ОY.

3. Установим промежутки возрастания и убывания значений функции. Для данной функции имеем: точка, движущаяся слева направо, поднимается снизу вверх, значит, значения функции возрастают. Причем нет таких значений аргумента, при которых движение точки изменило бы направление. Значит, для всех действительных чисел функция возрастает.

4. Определим корни функции. График данной функции пересекает ось ОХ в точке с абсциссой 2, значит, корень функции равен 2 (х=2).

5. Определим четность функции. Данная функция не симметрична ни относительно начала координат, ни относительно оси ОY, поэтому она ни четная и ни нечетная.

6. Определим значение функции, соответствующее аргументу, равному 0. Графически значение функции, соответствующее аргументу, равному 0, есть точка, в которой график функции пересекает ось ОY. Для нашей функции это будет точка с ординатой, равной –1.

№2. Исследовать свойства функции f(x)=-2x+1

1. Область определения функции – множество действительных чисел.

2. На множестве определения функции от -∞ до + ∞ значения функции убывают от +∞ до -∞

3. Корень функции х=

4. Функция ни четная и ни нечетная

5. График функции пересекает ось ОY в точке А (0;1)

№3. Два поезда вышли в одно и то же время навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми равно 486 км. Встретились они в 9 ч. утра, причем первый прошел на 54 км больше, чем второй, затем они продолжали движение с прежней скоростью. Первый пришел в В в 12 ч. 36 мин. Когда второй поезд пришел в А? (Решить графически с точностью до 1 минуты).

№4. Турист заметил, что в 9 ч. утра он был в 25 км. от намеченного пункта, а в 12 ч30 мин – в 14 км от него. Установить с помощью графика, в какое время он закончит свой путь, двигаясь равномерно, если по дороге устроит привал на 50 мин.

№5. Построить графики следующих функций:

f(x)=-3x+2; f(х)=- x-5; f(x)=-0,5x; f(x)=3; f(x)=0; f(x)=-2.

С помощью графиков выяснить свойства названных функций.

№6. При каких значениях а график функции f(x)=ax+2 параллелен графику функции f(x)=0,5x-3 ?

№7. Как надо переместить прямую у=2х, чтобы получить прямую, имеющую вид у=2х+3?

№8. Путем какого преобразования прямой у=х можно получить прямую у=а-х?

№9. Исследуйте функцию у=2х+3.

1. Исследование свойств линейной функции аналитическим методом.

№ 1. Исследуйте функцию f(x)=-3x+1 аналитическим методом.

1. Область определения функции любое действительное число.

2. Область изменения значений функции f(x)=-3x+1 – также все действительные числа, так как действия умножения и вычитания во множестве действительных чисел всегда выполнимы.

3. Так как для f(x)=-3x+1 к=-3, то функция убывающая.

4. Корень функции

-3х+1=0

х=

При х= значение функции обращается в нуль.

1. Четность функции

f(x)=-3x+1, f(-x)=3x+1

Знак перед 3х изменился, а перед 1 остался прежний. Значит функция ни четная и ни нечетная.

1. Значения функции, соответствующие аргументу, равному нулю

f(0)=-3*0+1=1

1. График функции пересекает ось ОХ в точке (х=; у=0), ось ОY – в точке (х=0; у=1).

По полученным точкам строим график f(x)=-3x+1

№2. Дана таблица значений линейной функции:

x	-3	-1	0	1	3
у			-1		5

Написать аналитический вид функции и заполнить свободные места в таблице.

Решение:

Так как заданная таблично функция линейная, то ее аналитический вид будет f(x)=kx+b. Требуется найти значения k и b. В таблице известны два значения f(x) и соответствующие им значения x, подставляя их в f(x)=kx+b получим систему двух линейных уравнений относительно k и b.

Решив систему, найдем: b=-1, 5=3к-1, к=2.

Значит, у=f(x)=2x-1.

Найдем значение функции у=f(x)=2x-1 для х=-3; -1; 1.

f(-3)=2*(-3)-1=-7

f(-1)=2*(-1)-1=-3

f(1)=2*1-1=1

x	-3	-1	0	1	3
у=f(x)	-7	-3	-1	1	5

№3. При нагревании железного стержня получили следующие результаты длин стержня, соответствующие определенным температурам

Температура в градусах	0	50	100	150	200	250
Длина в метрах	1	1,0006	1,0012	1,0018	10024	1,0030

Написать аналитический вид функции.

№4. Функция растворимости селитры и температуры растворителя характеризуется таблицей:

Температура в градусах	0	10	20	30	40	50
Количество селитры в граммах	13,9	21,2	31,6	45,6	61,3	83,5

Является ли эта функция линейной?

№5. Дана таблица значений линейной функции:

x	0	2	4	6	8	10
у	10				6

Заполнить недостающие места в таблице и написать аналитический вид функции.

1. Применение линейных функций к решению задач оптимизации.

№1. Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывают 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение:

х 60-х

А С В

АС=х, ВС=60-х.

Количество тонно-километров на АС: 200х.

Количество тонно-километров на ВС: 100 (60-х).

Суммарное количество выразится функцией

у(х)=200х+100(60-х)=100х+6000.

Область определения – [0;60], к=100, следовательно функция возрастающая, и, значит, у_min=6000 при х=0. Вывод: завод надо строить возле шахты А.

№2. Построить график функции у=-0,5(8-х) и исследовать ее на отрезке

[-4;10].

№3. Расстояние между заводами А и В равно 40 км. Потребность завода А составляет 80 т нефти в сутки, а завода В – 70 т. Перевозка 1 т нефти на расстояние 1 км для завода А стоит 8 руб, а для завода В – 10 руб. Где нужно строить нефтебазу для обеспечения горючим заводов А и В, чтобы расходы на перевозку в общем были наименьшими?

№4. График функции у(х) – ломанная линия ABCDE, где А(-2;2), В(0;4), С(5;4), D(9;2), Е(13;-2).

1. Построить этот график.

2. При помощи графика найти у(-1), у(0), у(10).

3. При каких значениях х значение функции равно: 3, -1, 0?

4. Указать три значения х, при которых функция принимает положительные (отрицательные значения).

5. Указать наибольшее и наименьшее значение функции.

№5. Построить график функции, заданной формулой:

а) у=(10-х), где х∊[-2;12];

б) у=-(5х-5), где -10≤х≤4.

6.Квадратичная функция. Исследование квадратичной функции.

№1. Построить график функции f(x)=2x²+2

1)Установим область изменения f(x).

а) При изменении х от - до 0 f(x) изменяется от + ∞ до 2.

б) При изменении х от 0 до +∞ f(x) изменяется от 2 до +∞.

2)Минимум функции f(x)=2x²+2 равен f(x)_min=2 при х=0.

3)Корни f(x) находим из уравнения

2х²+2=0, х²=-1,

Нет корней.

4)Ось ОY функция пересекает в точке А(0;2), так как при х=0 у=2*0+2=2. График f(x)=2х²+2 будет иметь вид параболы, поднятой на 2 единицы вверх от оси ОХ.

Если учесть, что график функции f(x)=2x² нам известен, то график f(x)=2x²+2 может быть построен с помощью сдвига оси ОХ. Положение этого графика относительно старой системы координат ХОY такое же, как и в первом случае.

№2. Построить на одной координатной плоскости графики следующих функций: f(x)=-2x², f(x)=2х², f(x)=2(х-3)²; f(x)=-2 (х-3)², f(x)= -2(х+3)², f(x)=2(х+3)².

№3. Найдите нули функции (если они существуют):

а) у=12х² –3, б) у=6х²+4, в) у=-х²-4.

№4. Постройте график функции у=-х²+2х+8 и найдите, используя график:

а) значение функции при х=2,5, -0,5, -3.

б) значение аргумента, при которых у=6; 0; -2.

в) нули функции, промежутки, в которых у0, y

г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

1. Исследование свойств функций, содержащих знак модуля.

№1. Исследуйте функцию f(x)=.

На множестве -∞ xf(x)=-x.

На множестве х=0 f(x)=0.

На множестве 0xf(x)=x.

При этом необходимо иметь в виду, что во всех трех случаях получаем множество значений одной функции f(x)=, кратко это можно записать так:

f(x)==

График f(x)= есть ломаная линия, которой принадлежит и нулевая точка.

Анализ графика дает основание для следующих выводов:

1. область определения f(x)=- все множество действительных чисел;

2. множество значений f(x)= - множество только положительных чисел;

3. f(x)=, f(-x)=, то есть f(x)= f(-х), значит f(x)= - четная функция. График ее симметричен относительно оси ОY;

4. для множества -∞ xf(x)= - убывающая, для 0x

5. f(x)= при х=0 имеет минимум, равный 0;

6. корень функции х=0;

7. ось ОY график функции пересекает в точке А(0;0).

Такие же свойства и такой же график имеет функция f(x)==.

№2. Исследуйте функцию f(x)= ─.

Зная свойства функций f(x)=x², f(x)=-x² и f(x)=, нетрудно сделать вывод, что график f(x)=- будет симметричен графику f(x)= относительно оси ОХ.

№3. Исследуйте функцию f(x)=+1.

№4. Исследуйте функцию f(x)=|x+1|.

№5. Исследуйте функцию f(x)=+х.

1. Функция f(x)=ax³

Исследуем ее свойства в соответствии с общим планом исследования функций.

1. Область определения f(x)=х³.

Операция возведения в степень выполнима всегда в области действительных чисел, поэтому областью определения f(x)=х³ и f(x)=ах³ будет множество действительных чисел.

1. Множеством значений функции также будет множество действительных чисел.

2. Четность f(x)=х³

f(x)=х³, f(-x)=-х³ f(x)=-f(-х).

Значит f(x) функция нечетная, то есть ее график будет симметричен относительно начала координат.

1. Промежутки возрастания и убывания f(x)=х³.

С изменением х от -∞ до + ∞ f(x)=х³ возрастает от -∞ до +∞, то есть функция всюду возрастающая.

1. Так как функция на множестве действительных чисел возрастающая, то она не имеет ни максимума ни минимума.

2. Корнем f(x)=х³ на множестве действительных чисел будет только х=0.

3. Точка пересечения с осью ОY А(0;0).

Так как для построения графика f(x)=х³ имеем только одну точку А(0;0), то надо выбрать несколько дополнительных точек.

x	0	1	2	3	0,5	0,3
f(x)=х3	0	1	8	27	0,125	0,027

График функции f(x)=х³ носит название кубической параболы.

№1. Выразить аналитически зависимость веса медного куба от длины его ребра, если известно, что куб с ребром 3 см весит 240 г.

Построить график этого соответствия для 0x

а) вес медного куба с ребром 1 см; 12 см; 15 см;

б) каким должно быть ребро медного куба, чтобы он весил 10 кг; 20 кг?

№2. Исследовать свойства функций:

f(x)=-2х³; f(x)=х³ ; f(x)=х³ +2.

№3. Выяснить аналитически и графически, в каком соответствии находятся:

а) длина окружности колеса и число оборотов на определенном участке пути;

б) основание и высота прямоугольника при постоянной площади;

в) вычитаемое и разность;

г) делитель и частное.

1. Заключительное занятие.

Семинарское занятие.

Литература для учителя

1. Возняк Г., Гусев В. Прикладные задачи на экстремумы.-М.: Просвещение, 1985.

2. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э.. Функции и графики. - М.: Изд. «Наука», 1973.

3. Колганов И.Л. Применение линейной функции к решению задач оптимизации. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» №5 2000.

4. Лященко Е.И. Изучение функций. - М.: Просвещение, 1970.

5. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.- М.: Просвещение, 1995.

6. Сефибеков С.Р. Внеклассная работа по математике.- М.: Просвещение, 1988.

7. Теляковский С.А. Алгебра 7 класс. – М.: Просвещение, 2003.

8. Теляковский С.А. Алгебра 9 класс. – М.: Просвещение, 2002.

9. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1990.

Самостоятельная работа по теме:

«Исследование свойств линейной функции аналитическим методом»

ВАРИАНТ I.

1. Опытным путем получена следующая таблица для скорости звука Ư м в секунду в сухом воздухе при различных температурах:

t0	-30	-17	-5	0	3	12	20	30
Ư м/сек	313	321	329	332	337	339	344	349

Найти приближенную формулу полученной функции.

1. Не вычерчивая графиков функций, установить аналитически, какая из функций f(x)= 4х─10 и f(x)=х+8 возрастает медленнее.

2. Написать аналитический вид прямой, параллельной прямой у=1,5х и проходящей через точку А(0;2)

ВАРИАНТ II.

1. При растворении хлористого калия при различной температуре растворителя получили следующие результаты:

t0	0	10	20	30	40	50	60
m (г)	28,5	31,3	34,35	37,4	40,3	43,1	45,6

Напишите формулу растворимости хлористого калия в соответствии с изменяющейся температурой.

1. Не вычерчивая графиков функций, установить аналитически, какая из функций f(x)= ─х+4 и f(x)= ─х─2 убывает быстрее.

2. Написать аналитически вид прямой, параллельной у=-3х и проходящей через точку В (0;-1).

Самостоятельная работа по теме:

«Исследование квадратичной функции».

ВАРИАНТ I.

1. Исследовать свойства функции f(x)=2х² ─3х+7.

2. Парабола f(x)=ах²+с проходит через точки А(10;3) и В(-5;-4,5). Найти коэффициенты а и с.

ВАРИАНТ II.

1. Исследовать свойства функции f(x)= ─ 3х²+2х─1.

2. Парабола f(x)=ах²+с проходит через точки А(2;6) и В(7;5,5). Определить коэффициенты а и с.

Самостоятельная работа по теме:

«Функция f(x)=aх³»

ВАРИАНТ I.

1. Исследовать свойства функции f(x)=2х³.

2. Построить график функции у=, где х∊[─3;6]. Найдите по графику множество значений переменной х, при которых: а) у=0; б) у0;

в) у

ВАРИАНТ II.

1. Исследовать свойства функции f(x)= ─х³.

2. Постройте график функции у=х³, где х∊[─2;4]. Найдите по графику множество значений переменной х, при которых: а) у=1; б) у1;

в) у

Семинарское занятие.

1. Функция. Область определения и область значений функции. Способы задания функции.

2. Прямая пропорциональность. Линейная функция. Расположение графика функции у=kх в координатной плоскости в зависимости от коэффициента k. Получение графика линейной функции из соответствующего графика прямой пропорциональности.

3. Расположение точек графика линейной функции на координатной плоскости. Изменение расположения графика линейной функции на координатной плоскости в зависимости от k и b. Схема изучения свойств линейной функции графическим методом.

4. Недостатки графического метода исследования функции. Приращение функции и приращение аргумента. Характеристическое свойство линейной функции. Схема исследования линейной функции аналитическим методом.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченной области определения. «Целевая функция», «математическая модель».

6. Пункты исследования функций f(x)=ax², у=а(х+m)². Расположение графика функции f(x)=ах²+с в зависимости от а и с. Расположение графика функции у=а(х+m)² в зависимости от а и m.

7. Определение модуля величины. Метод исследования функций со знаком модуля.

8. Основные пункты плана исследования свойств функции f(x)=ax³.