Проектирование как метод решения задач

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КАК МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Иванова Полина Анатольевна магистр математики

В данной статье рассматривается применение проективного преобразования при решении геометрических задач. В качестве примера решается 9 задач на основе трех утверждений, и все они моделируются.

In this article it is considered how to apply the projective reformation for solving geometric problems. As an example 9 problems are solved on the base of three affirmations, with all being modeled.

Уилям Оккама одного извеличайших английских ученых средневековья считают одним из предшественников великих мыслителей Рене Декарта и Иммануила Канта. Его философское высказывание о том, что «тщетно делать с большим то, что можно делать с меньшим» стало основой принципа экономии мышления, которое кратко стало называться как «бритвой Оккамы».

Вполне в духе Оккама мы предлагаем прием, варьирующие хорошо знакомые учащимся понятия об окружности и связанные с ним фигуры.

На этих задачах можно показать, как важно рассматривать не каждую задачу в отдельности, а соединить их в систему, разрабатывая общий алгоритм решения. Такой методический прием диктует нам принцип экономии мышления Оккама.

Пусть шар лежит на горизонтальной плоскости. Из верхнего полюса шара будем проецировать точки поверхности шара на эту плоскость. Получившиеся таким образом отображение поверхности шара на плоскость называется стереографической проекцией.

При этом все окружности на шаре, не проходящие через точку , при стереографической проекции изображаются на плоскости в виде окружностей, можно видеть, что также и всякая окружность на плоскости переходит в окружность на шаре. Когда некоторый круг, подвижный на шаре, приближается к кругу, проходящему через точку , то прямая, проходящая через точку и через центр окружности на плоскости проекции приближается к касательной к шару в точке , а центр окружности удаляется в бесконечность. Отсюда следует, что кругам, проходящим через точку шара, соответствуют на плоскости проекции прямые. Таким образом, совокупности окружностей на шаре соответствуют в стереографической проекции совокупности окружностей и прямых на плоскости.

При этом будем считать, что на каждой прямой помимо обычных точек имеется еще одна точка, называемая бесконечно удаленной и на каждой плоскости помимо обычных прямых имеется еще бесконечно удаленная прямая. И учтем их свойства: параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке; на бесконечно удаленной прямой лежат все бесконечно удаленные точки прямых данной плоскости. бесконечно удаленная прямая пересекается с каждой обычной прямой, лежащей на той же плоскости в бесконечно удаленной точке прямой.

Рассмотренное преобразование позволяет сформулировать три утверждения, содержание которых для удобства смоделируем в форме таблицы (таблица-1) – оказывается существует преобразование переводящее (см. рис.-1,2,3,):

➀. окружность в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности в центр образа.

➁. окружность в окружность, а не пересекающая ее прямую — в бесконечно удаленную прямую.

➂. окружность в окружность, а ее хорду - в диаметр образа.

Таблица1. Проектирование основных утверждений

➀

➁

➂

Теперь приведем перечень 9 задач, к которым применим указанные выше 3 утверждения. Их содержания также смоделированы с помощью таблицы-2(первый столбец), а решения – там же во втором столбце. Такие иллюстрация нам кажется удобным для восприятия их содержания и для их решения. Итак надо доказать, что три прямые пересекаются в одной точке (это задачи №1(вписанная в произвольный четырехугольник окружность), №2 (вписанная в произвольный треугольник окружность), №7(известная теорема Брианшона); они соответствуют рисункам 1,2,7; содержания задач не будем приводит в целях экономии объема статьи, читателю думаю они ясны без затруднения). Последующую группу задач представляет задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой (это задачи №6 (Окружность вневписана к произвольному треугольнику, а ее произвольная хорда), №9 (все точки окружности взяты произвольно, -касательные окружности); содержания задач также не будем приводит в целях экономии объема статьи, читателю думаю они также ясны без затруднения). Следующая группа задач – это задачи на нахождения ГМТ (геометрических мест точек) (№3, №4, №5), представления которых в виде моделей сложно для быстрого воспроизведения условия задачи, поэтому тексты задач также приводим полностью (при этом номер строки таблицы соответствует номеру задачи и ее решения):

№3. Через точку Р проводятся всевозможные секущие окружности. Найдите ГМТ пересечения касательных к окружности, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.

№4. Через точку Р проводятся всевозможные пары секущих АВ и CD окружности (A, В, С, D — точки пересечения с окружностью). Найдите ГМТ пересечения прямых АС и BD.

№5. Даны окружность, точка Р, расположенная вне окружности, и прямая , проходящая через Р и пересекающая окружность в точках А и В. Точку пересечения касательных к окружности в точках А и В обозначим через К.

а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через Р и пересекающие АК и ВК в точках М и N. Докажите, что ГМТ пересечения отличных от АК и ВК касательных к окружности, проведенных из точек М и N, является некоторая прямая, проходящая через К, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью окружности.

б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с окружностью. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на .

В конце приведем так называемую задачу о бабочке:

№8. Пусть О — середина хорды АВ окружности, MN и PQ — произвольные хорды, проходящие через О, причем точки Р и N лежат по одну сторону от АВ, Е и F—точки пересечения хорды АВ с хордами МР и NQ соответственно. Докажите, что О — середина отрезка EF.

Теперь покажем, как применяется указанные выше утверждения в качестве основного инструмента для решения приведенных выше групп задач. При решении всех задач первым шагом будет перевод окружности в окружность с учетом требования задачи.

Решение задачи №1: Переводим точку пересечения прямых, соединяющих противоположные точки касания, в центр образа окружности (см.➀). Так как получившийся четырехугольник симметричен относительно центра окружности, то тем самым утверждение задачи доказано.

Проектирования условий задачи	Проектирования решения задачи
1

Решение задачи №2: Переводим точку пересечения двух из трех рассматриваемых прямых в центр образа окружности (см.➀). Тогда образы этих двух прямых являются одновременно биссектрисами и высотами образа данного треугольника, следовательно, он является правильным. Для правильного треугольника утверждение задачи очевидно.

Проектирования условий задачи	Проектирования решения задачи
2

Решение задачи №3 и №4: Рассмотрим отдельно два случая.

1. Точка Р лежит вне окружности. Сделаем преобразование, при котором точка Р перейдет в бесконечно удаленную точку (см.➁), т. е. образы всех прямых, проходящих через Р, будут теперь друг другу параллельны. Тогда в задаче №3 образом искомого ГМТ является прямая - их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности, а в задаче №4 — прямая , из которой выкинут диаметр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой ). Следователь­но, само искомое ГМТ для задачи №4 есть прямая, проходящая через точки касания окружности с касательными, проведенными через точку , а для задачи №3– лежащая вне окружности часть этой прямой.

2. Точка лежит внутри окружности. Сделаем преобразование, при котором точка Р перейдет в центр окружности (см.➀). Проведем через точку две произвольные хорды . Пусть точки пересечения продолжении противоположных сторон четырехугольника . Ясно, что при указанном преобразовании четырехугольник переходит в прямоугольник, а следовательно, прямая - в бесконечно удаленную прямую. Таким образом, в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая.

Проектирования условий задач	Проектирования решения задач
3
4

Решение задачи №5: Обе задачи становятся очевидными после преобразования, переводящего прямую КР — в бесконечно удаленную (см.➁). а) Требуемое ГМТ лежит на прямой, равноудаленной от образов прямых А К и ВК , - искомая ГМТ; б)Требуемая точка есть центр образа окружности, т.е. - искомая точка.

Проектирования условий задач	Проектирования решения задач
5а
5б

Решение задачи №6: Пусть А',В', ... - образы точек А,В, ... при преобразовании, которое переводит хорду EF- в диаметр (см.➂). Тогда А' - бесконечно удаленная точка прямых, перпендикулярных диаметру Е'F', и нам нужно доказать, что прямая содержит эту точку, т.е. тоже перпендикулярна . Так как , то . Следовательно, (так как и , как касательные, проведенные из одной точки), т.е. . Значит, прямая содержит точку .

Проектирования условий задачи	Проектирования решения задачи
6

Решение задачи №7: Согласно задаче №1 достаточно рассмотреть случай, когда диагонали AD и BE проходят через центр окружности. Известно, что если у описанного многоугольника диагонали и проходят через центр окружности, то и третья диагональ также проходит через этот центр.

Проектирования условий задачи	Проектирования решения задачи
7

Решение задачи №8: Переводим точку О — в точку О' (см.➀). Пусть А', В', ... — образы точек А, В, ... Тогда А'В', и - диаметры. Поэтому при центральной симметрии относительно О' точка Е' переходит в , т.е. О'- середина отрезка . (Так как хорда АВ перпендикулярна диаметру, проходящему через О, то согласно задаче №1, б)) она параллельна исключительной прямой. Следовательно, согласно задаче 30.14,б) отношения отрезков, лежащих на прямой АВ, сохраняются, а значит, О — середина отрезка ).

Проектирования условий задачи	Проектирования решения задачи
8

Решение задачи №9: Переводим отрезок AD – в диаметр (см.➂). Пусть А',В',... - образы точек А,В,... Тогда точка переходит в бесконечно удаленную точку прямых, перпендикулярных прямой A'D'. Но А'С' и В'D' — высоты в , следовательно, — ортоцентр этого треугольника. Поэтому прямая — тоже высота, следовательно, она проходит через точку .

Проектирования условий задачи	Проектирования решения задачи
9