Раздаточный материал к уроку алгебры "Геометрическая прогрессия"

Задача 1: Поиск n-го члена

Условие: Дана геометрическая прогрессия: 2, 6, 18, … Найдите 7-й член этой прогрессии.

Решение:

1. Определяем первый член и знаменатель:

   • Первый член (b₁) = 2

   • Знаменатель (q) = 6 / 2 = 3 (или 18 / 6 = 3)

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

   • bₙ = b₁ * q^(n-1)

3. Подставляем значения и вычисляем:

   • b₇ = 2 * 3^(7-1) = 2 * 3⁶ = 2 * 729 = 1458

Ответ: 7-й член прогрессии равен 1458.

Задача 2: Поиск суммы первых n членов

Условие: Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 5, а знаменатель равен 2.

Решение:

1. Определяем значения:

   • b₁ = 5

   • q = 2

   • n = 6

2. Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

   • Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

3. Подставляем значения и вычисляем:

   • S₆ = 5 * (2⁶ - 1) / (2 - 1) = 5 * (64 - 1) / 1 = 5 * 63 = 315

Ответ: Сумма первых 6 членов прогрессии равна 315.

Задача 3: Поиск первого члена

Условие: Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 15, а знаменатель равен 2. Найдите первый член этой прогрессии.

Решение:

1. Записываем известные значения:

   • S₄ = 15

   • q = 2

   • n = 4

2. Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

   • Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

3. Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно b₁:

   • 15 = b₁ * (2⁴ - 1) / (2 - 1)

   • 15 = b₁ * (16 - 1) / 1

   • 15 = b₁ * 15

   • b₁ = 15 / 15 = 1

Ответ: Первый член прогрессии равен 1.

Задача 4: Поиск знаменателя

Условие: Первый член геометрической прогрессии равен 3, а четвертый член равен 24. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Решение:

1. Записываем известные значения:

   • b₁ = 3

   • b₄ = 24

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

   • bₙ = b₁ * q^(n-1)

3. Подставляем известные значения для b₄:

   • 24 = 3 * q^(4-1)

   • 24 = 3 * q³

4. Решаем уравнение относительно q:

   • q³ = 24 / 3

   • q³ = 8

   • q = ∛8 = 2

Ответ: Знаменатель прогрессии равен 2.

Задача 5: Комбинированная задача (Система уравнений)

Условие: Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 20. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение:

1. Записываем уравнения на основе условий задачи:

   • b₁ + b₃ = 10 (1)

   • b₂ + b₄ = 20 (2)

2. Выражаем все члены через b₁ и q, используя формулу n-го члена:

   • b₂ = b₁ * q

   • b₃ = b₁ * q²

   • b₄ = b₁ * q³

3. Подставляем выражения в уравнения (1) и (2):

   • b₁ + b₁ * q² = 10 (3)

   • b₁ * q + b₁ * q³ = 20 (4)

4. Преобразуем уравнения:

   • Выносим общий множитель b₁ в (3): b₁ * (1 + q²) = 10

   • Выносим общий множитель b₁q в (4): b₁ * q * (1 + q²) = 20

5. Делим уравнение (4) на уравнение (3):

   • (b₁ * q * (1 + q²)) / (b₁ * (1 + q²)) = 20 / 10

   • q = 2

6. Подставляем q = 2 в уравнение (3):

   • b₁ * (1 + 2²) = 10

   • b₁ * (1 + 4) = 10

   • b₁ * 5 = 10

   • b₁ = 2

Ответ: Первый член прогрессии (b₁) равен 2, а знаменатель (q) равен 2.

КАРТОЧКА

Задача 1:

В геометрической прогрессии первый член равен 3, а знаменатель равен 2. Найдите 8-й член этой прогрессии.

Задача 2:

Найдите сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 1, а знаменатель равен -2.

Задача 3:

Четвертый член геометрической прогрессии равен 24, а знаменатель равен 2. Найдите первый член этой прогрессии.

Задача 4:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а первый член равен 6. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Задача 5:

В геометрической прогрессии b₂ = 6 и b₄ = 24. Найдите возможные значения b₁.

Задача 6:

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: 1, 3, 9, …

Задача 7:

Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый член равен 162. Найдите знаменатель прогрессии.

Задача 8:

Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 12, а разность второго и первого членов равна 3. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Задача 9:

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна 21, а произведение равно 216. Найдите эти числа.

Задача 10:

Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых трех членов равна 21, а знаменатель равен 2.

Пожалуйста, решайте эти задачи вдумчиво. Постарайтесь вспомнить все необходимые формулы и методы. Когда будете готовы, напишите, и я предоставлю решения для проверки! Удачи!

Решения:

Задача 1:

• b₈ = b₁ * q^(8-1) = 3 * 2⁷ = 3 * 128 = 384 Ответ: 384

Задача 2:

• S₇ = b₁ * (q⁷ - 1) / (q - 1) = 1 * ((-2)⁷ - 1) / (-2 - 1) = ( -128 - 1) / (-3) = -129 / -3 = 43 Ответ: 43

Задача 3:

• b₄ = b₁ * q³ = 24 = b₁ * 2³ = 24 = b₁ * 8 = b₁ = 24 / 8 = 3 Ответ: 3

Задача 4:

• S = b₁ / (1 - q) = 9 = 6 / (1 - q) = 1 - q = 6 / 9 = 2/3 = q = 1 - 2/3 = 1/3 Ответ: 1/3

Задача 5:

• b₂ = b₁ * q = 6 = b₁ * q

• b₄ = b₁ * q³ = 24 = b₁ * q³

  • Делим второе уравнение на первое: 24 / 6 = (b₁ * q³) / (b₁ * q) = 4 = q² = q = 2 или q = -2

  • Если q = 2, то b₁ = 6 / 2 = 3

  • Если q = -2, то b₁ = 6 / (-2) = -3 Ответ: b₁ = 3 или b₁ = -3

Задача 6:

• b₁ = 1, q = 3

• S₆ = b₁ * (q⁶ - 1) / (q - 1) = 1 * (3⁶ - 1) / (3 - 1) = (729 - 1) / 2 = 728 / 2 = 364 Ответ: 364

Задача 7:

• b₅ = b₁ * q⁴ = 162 = 2 * q⁴ = q⁴ = 81 = q = 3 или q = -3 Ответ: 3 или -3

Задача 8:

• b₁ + b₂ = 12 = b₁ + b₁ * q = 12 = b₁(1+q)=12

• b₂ - b₁ = 3 = b₁*q - b₁ = 3 = b₁(q-1)=3

  • Делим первое уравнение на второе: (b₁(1+q))/(b₁(q-1)) = 12/3 = (1+q)/(q-1) = 4 = 1+q = 4q - 4 = 3q = 5 = q = 5/3

  • Подставляем q = 5/3 в b₁(q-1)=3: b₁*(5/3 - 1)=3 = b₁*(2/3)=3 = b₁ = 9/2 = 4.5 Ответ: b₁ = 4.5, q = 5/3

Задача 9:

• Пусть числа: b/q, b, bq

• b/q + b + bq = 21

• (b/q) * b * bq = 216 = b³ = 216 = b = 6

  • Подставляем b=6 в первое уравнение: 6/q + 6 + 6q = 21 = 6/q + 6q = 15 = 6 + 6q² = 15q = 6q² - 15q + 6 = 0 = 2q² - 5q + 2 = 0

  • D = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

  • q₁ = (5 + 3) / 4 = 2

  • q₂ = (5 - 3) / 4 = 1/2

  • Если q = 2, то числа: 3, 6, 12

  • Если q = 1/2, то числа: 12, 6, 3 Ответ: 3, 6, 12 или 12, 6, 3

Задача 10:

• S₃ = b₁ * (q³ - 1) / (q - 1) = 21 = b₁ * (2³ - 1) / (2 - 1) = 21 = b₁ * 7 = b₁ = 3

• b₄ = b₁ * q³ = 3 * 2³ = 3 * 8 = 24 Ответ: 24

Задача 11:

Найдите пятый член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен 3.

Задача 12:

Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, если первый член равен 4, а знаменатель равен 1/2.

Задача 13:

В геометрической прогрессии второй член равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите первый член.

Задача 14:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10, а первый член равен 5. Найдите знаменатель.

Задача 15:

Первый член геометрической прогрессии равен -3, а третий член равен -12. Найдите возможные значения знаменателя.

Решения:

Задача 11: b₅ = b₁ * q^(5-1) = 2 * 3⁴ = 2 * 81 = 162 Ответ: 162

Задача 12: S₄ = b₁ * (q⁴ - 1) / (q - 1) = 4 * ((1/2)⁴ - 1) / (1/2 - 1) = 4 * (1/16 - 1) / (-1/2) = 4 * (-15/16) / (-1/2) = 4 * (-15/16) * (-2/1) = 4 * (30/16) = 120/16 = 7.5 Ответ: 7.5

Задача 13: b₂ = b₁ * q = 6 = b₁ * 2 = b₁ = 6 / 2 = 3 Ответ: 3

Задача 14: S = b₁ / (1 - q) = 10 = 5 / (1 - q) = 1 - q = 5 / 10 = 1/2 = q = 1 - 1/2 = 1/2 Ответ: 1/2

Задача 15: b₃ = b₁ * q² = -12 = -3 * q² = q² = -12 / -3 = 4 = q = 2 или q = -2 Ответ: 2 или -2

Задача 1:

В геометрической прогрессии первый член равен 3, а знаменатель равен 2. Найдите 8-й член этой прогрессии.

Задача 2:

Найдите сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 1, а знаменатель равен -2.

Задача 3:

Четвертый член геометрической прогрессии равен 24, а знаменатель равен 2. Найдите первый член этой прогрессии.

Задача 4:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а первый член равен 6. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Задача 5:

В геометрической прогрессии b₂ = 6 и b₄ = 24. Найдите возможные значения b₁.

Задача 6:

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: 1, 3, 9, …

Задача 7:

Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый член равен 162. Найдите знаменатель прогрессии.

Задача 8:

Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 12, а разность второго и первого членов равна 3. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Задача 9:

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна 21, а произведение равно 216. Найдите эти числа.

Задача 10:

Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых трех членов равна 21, а знаменатель равен 2.

Задача 11:

Найдите пятый член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен 3.

Задача 12:

Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, если первый член равен 4, а знаменатель равен 1/2.

Задача 13:

В геометрической прогрессии второй член равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите первый член.

Задача 14:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10, а первый член равен 5. Найдите знаменатель.

Задача 15:

Первый член геометрической прогрессии равен -3, а третий член равен -12. Найдите возможные значения знаменателя.

Задача 1:

В геометрической прогрессии первый член равен 3, а знаменатель равен 2. Найдите 8-й член этой прогрессии.

Задача 2:

Найдите сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 1, а знаменатель равен -2.

Задача 3:

Четвертый член геометрической прогрессии равен 24, а знаменатель равен 2. Найдите первый член этой прогрессии.

Задача 4:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а первый член равен 6. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Задача 5:

В геометрической прогрессии b₂ = 6 и b₄ = 24. Найдите возможные значения b₁.

Задача 6:

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: 1, 3, 9, …

Задача 7:

Первый член геометрической прогрессии равен 2, а пятый член равен 162. Найдите знаменатель прогрессии.

Задача 8:

Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 12, а разность второго и первого членов равна 3. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Задача 9:

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна 21, а произведение равно 216. Найдите эти числа.

Задача 10:

Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых трех членов равна 21, а знаменатель равен 2.

Задача 11:

Найдите пятый член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен 3.

Задача 12:

Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, если первый член равен 4, а знаменатель равен 1/2.

Задача 13:

В геометрической прогрессии второй член равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите первый член.

Задача 14:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10, а первый член равен 5. Найдите знаменатель.

Задача 15:

Первый член геометрической прогрессии равен -3, а третий член равен -12. Найдите возможные значения знаменателя.