Разработка урока по алгебре и началам анализа по теме "Определенный интеграл"

Цель и задачи урока

Цель: Обеспечить закрепление понятия интеграл, способы его вычисления, применение интеграла для вычисления площадей. Сформировать навыки планирования ответа, навыки самоконтроля.

Задачи:

- обучающие

Отработать навыки вычисления первообразных для функций.

Отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона– Лейбница.

-развивающие

Способствовать развитию интеллектуальных качеств личности школьника: самостоятельность, гибкость, способности видеть проблему, обобщать, переключаться с одного вида работы на другой.

Развивать эмоции учащихся, создавая эмоциональные ситуации удивления, сопереживания.

Развивать познавательный интерес, создавая игровые ситуации.

-воспитательные

Содействовать воспитанию аккуратности, организованности, дисциплины,

Формировать умения работать коллективно, в группе, паре, самостоятельно.

Прививать интерес к предмету посредством применения современных информационных технологий.

Ход урока:

1.Организационный момент

Приветствие, сообщение темы и цели урока

2. Повторение

Перед изучением темы повторим следующие вопросы дифференциального исчисления: понятие производной, правила дифференцирования, производные основных элементарных функций (степенной, синуса, косинуса, тангенса, котангенса).

- Устно решим несколько примеров на нахождение производной:

а) … ; б) … ; в) … ; г) ….

- Какая связь существует между производной функции и первообразной?

Ответ: Функция F (х) называется первообразной на заданном промежутке для функции f(x), если для всех х из этого

промежутка .

  1.Что означает высказывание: «Функция есть одна из первообразных функции Зх² для R»?

2. Укажите какие-либо три функции, отличные от функции х³ и являющиеся первообразными для

функции Зх².

 3. Запишите множество первообразных функции Зх².

4. Сформулируйте определение первообразной.

Основное свойство первообразной:

Если функция F (х) — одна из первообразных для f(x) на неко­тором промежутке, то множество

всех первообразных этой функ­ции имеет вид F (х) + С, где С - любое действительное число.

График каждой первообразной F (х) + С функции f(x) может быть получен из графика F (х) при помощи параллельного пере­носа

Для выделения конкретной первообразной из множества всех первообразных

F (х) + С нужно задать дополнительные (началь­ные) условия, например координаты одной точки, через которую проходит график искомой первообразной

Учитель: Если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных, отличающихся постоянными слагаемыми. Так, функция для имеет первообразные:

1.Найдите первообразные функций: а) б) в) Укажите область

определения каждой функции и ее первообразной. (используется в ЕГЭ)

СЛАЙД

2.Найдите первообразные для функций: (Фронтально)

а) б) в)

В это время у доски работает ученик

а) б) в) г)

Проверяет его работу другой учащийся

Остальные отвечают на вопросы:

1. Как найти первообразную функции f(x)+g(x)?

2. Как найти первообразную функции kf (x) (k — постоянная)?

3. Как найти первообразную функции f(kx + b) (k и b — по­стоянные)?

Класс работает в тетрадях и у доски

Для функции найдите первообразную , если известно, что .

Решение.

Задача .( ЕГЭ 2010) F₁(x) и F₂ (x) – две различные первообразные функции f(x), причем F₁(3)=8, F₂(5)=12, F₁(5)=14. Найти F₂(3). Ответ : 6

3.Проверка домашнего задания ( заранее на доске)

Точка движется прямолинейно с ускорением Найдите закон движения точки, если в момент времени её скорость равна 10 м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения равна 1 ).

Решение.

Вспомним физический смысл производной: ,

т.к. , то значит, →

т.к. , то значит, →

Ответ: - закон движения точки

4. Изложение нового материала

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Сегодня и мы познакомимся с этим методом- вычислением первообразной на некотором отрезке . Независимо друг от друга два великих Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц получили формулу, которая используется для вычисления первообразных. Она получила название определенного интеграла и имеет вид :

(зх²-2х +1) dx= б) 21 cos (3x - )dx =

Работа по задачнику: с. 165, № 49.1-49.5 (А,Б),

Задача.1 Тело движется прямолинейно со скоростью (t)=6t+4 м/сек. Найти длину пути, пройденного телом за третью секунду ( Третья секунда – значит от2 до 3с)

Задача2. Линейная плотность (l) неоднородного стержня длиной 36 см изменяется по закону (l)=3l²+4 гр/см. Найти массу стержня (от 0 до 36см)

Задача3. Величина тока изменяется по закону I(t)=4t³+1 А. Найти количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за первые 12 сек.(от 0 до 12с)

Задача4. Силой 90 Н пружина растягивается на 0,01м. Первоначальная длина пружины 0,40 м. Какую надо совершить работу, чтобы растянуть пружину до 0,45 м?

5.Итог урока.

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели, называет лучших учеников, лучшую команду, называет оценки, отмечает вопросы, по которым ребятам еще нужно работать, указывает на основные ошибки, планирует индивидуальную работу с теми учащимися, которые допустили ошибки

Первообразная и интеграл.

1. F(x) - первообразная для f(x) на множестве Х если F'(x) = f(x) для всех x X. Если F(x) - первообразная для f(x) на множестве X, то F(x) + c - множество всех первообразных для f(x) на множестве X. Это множестве первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают

2. Таблица первообразных и интегралов

1. Правила вычисления первообразных

- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная

для f+g.

-Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k 0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций и таких, что для всех x [a;b] вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

или

Применение интеграла.

Задание на дом : §49, № 49.1-49.4 (в,г), 49.8(в,г)