Решение систем уравнений

Практическое занятие Приложение 30

Решение систем уравнений.

Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств.

1) Теоретический этап.

1.Пару значений переменных (x,y), обращающую данное уравнение в верное равенство называют решением уравнения с двумя переменными.

2. Пара значений переменных (x,y), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство называется решением системы уравнений с двумя переменными.

3. Решить систему уравнений с двумя переменными, значит найти все решения или доказать, что решений нет.

4. Способы решения систем:

1. способ подстановки

2. способ сложения

3. графический способ

Способ подстановки.

• Выражают из какого- нибудь уравнения системы одну переменную через другую

• Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение

• Решают полученное уравнение с одной переменной

• Находят соответствующее значение второй переменной из подстановки.

Способ сложения.

• Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так,чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположные числа

• Складывают почленно левые и правые части уравнений системы

• Решают получившиеся уравнение одной переменой

• Находят соответствующее значение второй переменной

Графический способ

• Построить в одной системе координат графики уравнений

• Найти приближенные значения точек пересечения графиков

• Записать ответ

2) Подготовительный этап. Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Решить систему уравнений:  

Решение:

Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы. Решаем (1) -ое уравнение полученной системы: разложим правую часть уравнения на множители, применяем формулу: a^x+y=a^x∙a^y.

2^х + 2^x+2 = 10; 2^x + 2^x ∙ 2² = 10, вынесем общий множитель 2^х  за скобки: 2^х · (1+2²) = 10; 2^х ∙5 = 10, 2^х = 2, 2^х = 2¹, х =... Возвращаемся к системе уравнений: у = 1 + 1 = ...

Ответ: (1; 2).

Пример 2. Решить систему уравнений:  

Решение: Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5. Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5. Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

,

5х = 10;   х = … 

Это значение подставляем вместо х в первое уравнение системы, находим  у.

2 ∙ 2 + 2 у = 7, 2у = 7 – 4, 2у = 3, у = …

Ответ: (2; 1,5).

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение: ,

Сделаем замену , .

Выразим через . Подставим в 1 уравнение. Решим уравнение с переменной .

; ; D = 324,

,

Возвращаемся к х, у.

Ответ: (2; 1).

Пример 4. Решить систему уравнений:

Решение:

Подставим у из 2 уравнения в 1.

х· (15 + 4х) = 4, 15х + 4х² 4 = 0, 4х² + 15х 4 = 0, D = 15² 4 = … 64 = ….

По свойству логарифмов х 0, y 0, поэтому х = 0,25.

Найдем у: у = 4 0,25 15 = 1 + 15 = …

Ответ: (0,25; 16).

Пример 5. Решить систему уравнений:

Решение: ,

Решаем первое уранение: 2 = 10, = 5, х = …, Подставляем значение х во 2 уравнение системы: 25 – у = 21 ; – у = 21 – 25; – у = – …; у = 4

Ответ: (25; 4).

3) Практический этап.

1. Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений: 

3. Решить систему уравнений:

4. Решить систему уравнений:

5. Решить систему уравнений:

4) Дополнительные задания^* Решить систему уравнений: 

1) 2) 3)

4) 5)