Решение задачи Коши на III четверте

Рассмотрим задачу

(1)

(2)

(3)

Легко можно убедиться, что функция (3) удовлетворяет задачу (1)-(2).

AC₂:

A₀C₂:

Краевые условия:

AC₂: (4)

Применяя условие (4) к решению (3), имеем

здесь учтено, что

Полученное дифференцируем дважды

или

(5)

где

Второе краевое условие

Значит

Находим производные и суммируем

Если , то

Произведем замену , то

Находим вторую и третью производные полученного соотношения

(6)

где

Третье краевое условие

(8)

Найдем производные (3) и применим (8)

Учитывая

получим

Положим

Тогда, имеем

Заменим

Положим

Тогда дифференцируя дважды, имеем

или

(9)

Итак, мы получили соотношения

(5)

(6)

(9)

Из (5) и (6) имеем

Из (6) и (9) имеем

Итак, в качестве соотношений, принесенные из области берём следующие

(10)

(11)

(12)

где