Студентам. Изучаем самостоятельно. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Задание:

В рабочей тетради составить подробный конспект: записать все определения, примеры решения задач, решить задания для самоподготовки. Сфотографировать записи и переслать либо в ЛС в ВК, либо на почту bo1_w@mail.ru

_{Начнем с примера.}

_{Пример 1. Пусть средняя зарплата рабочих в 1-ом цехе составляет 20000 рублей, причем наименьшая зарплата 9000 рублей, а наибольшая – 60000 рублей. Средняя зарплата рабочих во 2-ом цехе тоже 20000 рублей, причем наименьшая зарплата 15000 рублей, а наибольшая – 40000 рублей. Хотя средние зарплаты в обоих цехах одинаковы – 20000 рублей, но сравнивать уровни зарплат в цехах нельзя.}

_{Рассмотренный пример показывает, что надо ввести такие характеристики статистического распределения, которые показывали бы, как сильно рассматриваемая величина колеблется вокруг средней.}

_{Определение 1. Размахом вариации называют разность между наибольшим и наименьшим значениями наблюдаемой величины всего статистического распределения:}

_{R = .}

_{В примере 1 для первого цеха R=60000-9000=51000 (руб), для второго цеха R=40000 – 15000=25000 (руб.).}

_{К сожалению, размах вариации – характеристика плохая, поскольку она вычисляется на крайних значениях, которые часто не типичны. Скажем, в рассматриваемом примере 9000 руб. – оклад уборщицы, а 60000 – оклад начальника цеха.}

_{Удачнее всего характеризует колебание наблюдаемой величины около ее выборочной средней так называемое среднее квадратическое отклонение.}

_{Определение 2. Средним квадратическим отклонением называют число}

_,

_где

_.

_{Пример 2. Найти среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению.}

Найдем

Тогда

.

_{Замечание. Чем больше значение сpeднeгo квадратического отклонения тем больше размах колебаний наблюдаемой величины вокруг среднего значения .}

Подойдём к понятию математического ожидания. Пусть масса некоторого вещества распределена между точками оси абсцисс x1, x2, ..., xn. При этом каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу с вероятностью из p1, p2, ..., pn. Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X, в которое абсцисса каждой точки xi входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.

Определение 3.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

Пример 3. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 4. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

.

Пример 5. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2. Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:

.

В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Перейдем к понятию ДИСПЕРСИИ случайной величины.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением   случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

. Получили определение среднего квадратического отклонения, связанного с дисперсией.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

.

.

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.

_{Упражнения.}

_{1. Проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева. Данные собраны в таблице:}

_{Найти .}

_{(Ответ для самопроверки: R=7, =2,2)}

_{2. Вычислить сpeднeе квадратическое отклонение и размах вариации R по данным таблицы}

_{(Ответ для самопроверки: =0,5862 – 0,5862 ; R = 3 – 1 = 2. )}

_{3. Средняя заработная плата рабочих цеха № 2 в течение одного дня приведена в таблице:}

_{Найти R и .}

_{(Ответ для самопроверки: R= 600 руб., =121 руб. 70 коп.)}

_{4. Проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева. Данные собраны в таблице:}

_{Найти .}

_{Литература.}

1. А.И. Орлов. Организационно-экономическое моделирование. В 3 частях. Часть 1. Нечисловая статистика. – М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. – 544 с.

2. Гнеденко Б. Н. Курс теории вероятностей / Б. Н. Гнеденко. - М.: Наука, 2002. - 400 c.

3. Гмурман, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.С. Гмурман. М.: Высш. шк., 2004. - 479 с

4. Линьков В.М., Яремко Н.Н. Высшая математика в примерах и задачах. Компьютерный практикум : учеб. пособие / под редакцией А.А. Емельянова. – М. : Финансы и статистика, 2006.

5. М.А. Родионов, Н.Н. Яремко. Краткий курс комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие для старшеклассников и студентов. – Пенза : ПГПУ им. В.Г. Белинского, 2007. – 115 с.

6. Родионов М.А., Шершаков В.П., Марина Е.В. От простого к сложному : учебно-методическое пособие для школь-ников и абитуриентов. – Пенза, 2001.

7. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений // Математика в школе – 2003. – № 3.

8. https://function-x.ru/probabilities_expectation_dispersion.html