Технологическая карта пятого занятия группы 3 ЛГМШ

Тема

Разрезания на клетчатой бумаге.

Цели занятия

Знакомство с задачами на разрезание фигур, изображенных на клетчатой бумаге, развитие комбинаторных навыков и наглядных представлений о симметрии.

Термины и понятия

Разрезание фигуры, равные, равновеликие, равносоставленные фигуры; площадь фигуры, симметрия фигуры.

Планируемые результаты

Предметные

УУД

Знать и уметь применять основные идеи, используемые при решении простейших задач на разрезание.

Разрезать прямоугольник на несколько равных частей, из которых можно составить другой прямоугольник или квадрат; выяснить, в каких случаях это можно сделать.

Личностные: формирование познавательного интереса по отношению к новому материалу, позитивное отношение к результатам обучения в рамках изученной темы.

Регулятивные: выполнение учебного задания в соответствии с целью, проведение само- и взаимопроверки выполнения задания.

Коммуникативные: обоснование своего мнения с использованием терминов в рамках учебного диалога, развитие сотрудничества со сверстниками.

Познавательные: выделение и структурирование необходимой информации; проведение анализа решенных задач и выделение общих способ их решения; совершенствование геометрических и комбинаторных представлений, чертежных умений и навыков.

Межпредметные связи

Учебный предмет (курс)

Форма работы

Ресурсы

Геометрия

Фронтальная, парная, индивидуальная

Раздаточный дидактический материал, чертежные инструменты, листки в клетку, красные, желтые, зеленые карточки.

Виды деятельности на этапе

Планируемые результаты

Содержание

1

2

3

Мотивационный этап

Организация, мотивация обучающихся на освоение нового. Актуализация знаний

Обеспечение мотивации учения, принятие обучающимися целей занятия.

Проверка и обсуждение домашнего задания.

- Несколько тысячелетий тому назад кто-то впервые столкнулся с головоломкой – геометрической задачей на разрезание фигур. Возможно, древний человек хотел вначале разрезать на части большую, неправильной формы шкуру какого-то зверя, а затем сшить ее так, чтобы получить шкуру нужной формы. Это нужно было сделать так, чтобы количество разрезов и швов было наименьшим. Задачами на разрезание ученые увлекались с древнейших времен. Решение многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х в., жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ в. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени. Особенно большое число существовавших ранее рекордов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен. Он является ведущим специалистом в области разрезания фигур. В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии, любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков. Вместе с тем задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач. Из задач на разрезание родились теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно), а затем и третья проблема Гильберта: верно ли аналогичное утверждение для многогранников?

Итак, попробуем и мы научиться решать некоторые задачи, связанные с разрезанием фигур на части.

Этап учебно-познавательной деятельности

Постановка учебной задачи и открытие новых знаний

Обеспечение восприятия, осмысления и первичного восприятия темы

- Рассмотрим следующие задачи:

1. Квадрат 44 клетки разделите на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Сколько всего решений можно найти?

2. Найдите 5 способов разрезания прямоугольника 43 клетки на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

3. Из прямоугольника 35 удалена центральная клетка. Найдите пять способов разрезания оставшейся фигуры на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

4. Можно ли квадрат 55 разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток? Ответ обоснуйте.

5. Прямоугольник 49 разрежьте на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

6. Из прямоугольника 107 вырезали прямоугольник 16 (см. рис). Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

7. Разделите квадрат 44 на 4 равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Сколько различных способов разрезания Вы найдете?

8. Из квадрата 44 удалили угловую клетку. Разделите оставшуюся фигуру на три равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

9. Из квадрата 44 удалили угловой квадрат 22 клетки. Разделите оставшуюся фигуру на четыре равные части.

10. Фигуру, изображенную на рисунке, надо разрезать по линиям сетки на 4 одинаковые части так, чтобы в каждой части была отмеченная клетка.

- Давайте сделаем выводы:

- если требуется разбить фигуру на несколько частей, удобно сначала найти площадь разрезаемой фигуры, а потом – каждой из частей;

- если исходную фигуру нужно разбить на несколько фигур заданного вида, удобно предварительно посчитать, сколько их должно быть;

- фигуры, на которые разрезается данная фигура, часто располагаются симметрично относительно центра фигуры, прямой, делящей фигуру на две равные части, и т.д.

Игровой этап

Смена видов деятельности в игровой форме

Снятие утомляемости; развитие творческих способностей, логики и сообразительности.

Надо решить четыре анаграммы и указать лишнее по смыслу слово:

ГИРМТОЕЯЕ (геометрия)

ИРЕААЗНЗРЕ (разрезание)

ИИМАФРАТЕК (арифметика) - лишнее

ММЯИИЕРСТ (симметрия)

Этап закрепления практических навыков

Планирование и осуществление деятельности, направленной на решение задач

Установление правильности и осознанности изучения темы.

1. На 23 февраля девочки 7«Б» класса решили подарить мальчикам большой торт. Они замесили тесто и сделали из него круглые коржи. На верхнем корже они хотели написать «С 23 февраля!» черничным соком, но только капнув, увидели, что сок растекся в красивую звездочку, и девочки решили ее поместить в центр. Смогут ли они это сделать, разрезав корж на 3 части?

2. У Егора есть 4 одинаковые спички. Он составил из них четырехугольник. Обязательно ли это квадрат?

3. У Арины есть кусок красивой ленты длиной 144 см. Она хочет отрезать от него 2 куска длиной 27 см, чтобы заплести косички. Как ей это сделать, если у нее нет линейки?

4. Марат ждал, пока школьники решат задачки, и сложил из четырех зубочисток ромб, у которого одна из диагоналей была равна его стороне. Какие углы у этого ромба?

5. После поедания торта из первой задачи осталось несколько кусочков, которые раздали мальчишкам, чтобы они угостили своих родителей. У Миши есть коробка такой формы, как треугольник на левом рисунке, и кусок торта такой формы, как треугольник на правом рисунке. Как ему разрезать этот кусок только на 2 части, чтобы уложить его в коробку?
6. Посмотрев на то, как Миша думает над своим куском торта, Алеша задумался над тем куском, которые лежал перед ним (см. рис. а). Только он стал считать его площадь. Ему так понравилась эта задачка, что он стал рисовать разные фигуры и считать их площади. Посчитайте площади фигур на рисунках а, б и в.

Рефлексия деятельности и итог занятия

Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процессов и результатов деятельности.

- С какими типами задач на разрезание мы познакомились? (Разрезание фигур на клетчатой бумаге, разрезание фигур с дополнительными условиями, разрезание фигуры с целью складывания новых фигур)

- Какие основные соображения используются при решении задач на разрезание?

- Какая из решенных на занятии задач показалась вам самой интересной, самой сложной?

- С помощью одной из цветных карточек оцените свое восприятие материала занятия (красная – «сложно, многое не понял», желтая – «понял почти все, но остались вопросы», зеленая – «материал показался достаточно простым и понятным»).

Домашнее задание

7. Вадим, посмотрев на Мишу с Алешей стал мерить стороны своего треугольного куска торта. Две из них оказались равны 3,8 см и 0,6 см соответственно, а про третью он всем говорил, что ее длина выражается целым числом сантиметров. Чему была равна длина третьей стороны?

8. Алеша так увлекся площадями кусков тортов, что стал делать наоборот: придумывать фигуры с какой-нибудь интересной площадью и рисовать их в конце своей тетради по геометрии. Например, он нарисовал квадраты с площадями в 2 и 5 раз больше площади одной тетрадной клетки. А вы сможете нарисовать такие квадраты?

9. А Миша увлекся разрезаниями. Вот он и задумался: верно ли, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов (не обязательно равных), начиная с 6?

10*. Докажите, что Миша сможет разрезать правильный треугольник на любое число правильных треугольников (не обязательно одинаковых), начиная с шести.