Урок одной задачи

Урок одной задачи

Автор: Князева О.Г.

Задача 1

В правильной треугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D - середина ребра СС 1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB 1 .

• 1 способ решения задачи:

• Достроим треугольную призму ABCA1B1C1 до четырёхугольной ACBFA1C1B1F1, в основании которой лежит ромб A C B F.

Построим сечение призмы ACBFA1C1B1F1 плоскостью ADB1. Параллельные плоскости ВВ1С1С и FF1A1A, СС1А1А и FF1В1В пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым DB1 и AT, AD и B1T соответственно (Т – середина ребра FF1). Искомое сечение - ромб DATB1 Для построения угла между плоскостями ВСА и DAB1 построим их прямую пересечения. Для этого продлим до пересечения прямые В1T и ВF , В1D и ВС. В1T ∩ ВF =N В1D ∩ ВС = M. Прямая МN - прямая пересечения рассматриваемых плоскостей

АВ является проекцией наклонной АВ1 на плоскость АВС, поэтому AB1  MN по теореме о трёх перпендикулярах. Угол В1АB = α – угол между плоскостями ABC и ADB1

Если вернуться к начальной правильной треугольной призме, то линейный угол между рассматриваемыми плоскостями образован стороной основания АВ и диагональю АВ1 грани ВВ1А1А

В прямоугольном треугольнике В1АB (  B = 90°) BB1 = 3,

АВ =1.

Ответ:

2 способ решения задачи:

Построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1, продлив до пересечения прямые B1D и BС. B1D ∩ BС= Е. Прямая AЕ – искомая прямая.

ЕС = СВ. Данное равенство следует из равенства прямоугольных треугольников B1DC1 и EDC по катету и прилежащему острому углу. ЕС = С1B1 = СB.

Равенство отрезков ЕС и СВ также вытекает из подобия треугольников DEC и B1ЕB с коэффициентом подобия

1/2