Урок по теме "Множество значений функции на ЕГЭ и при подготовке к ЕГЭ"

Конспект открытого урока

Тема : Множество значений функции в ЕГЭ и при подготовке к ЕГЭ.

Пояснительная записка. В 11 классе самые разные ученики, одни усваивают материал на высоком уровне (2 человека), другие на очень низком уровне (3 человека) и 8 человек достигли повышенного уровня усвоения материала, благодаря ежедневной самостоятельной работе на уроке и дома, работе в парах и группах с консультантами. Между учителем и учащимися налажен контакт, учащиеся не испытывают страха перед учителем и предметом, осуществляется принцип сотрудничества. Каждый учащийся в любое время урока и после уроков может получить консультацию у учителя. Домашние задания задаются как обязательного уровня, так и повышенного уровня для желающих. На предыдущих занятиях факультатива учащиеся решали устные и письменные задания на свойства функций из всех частей А, В и С из ЕГЭ. Тема данного урока выбрана мной не случайно, когда у учащегося есть несколько способов решения задачи, он может выбрать более рациональный. Множество значений функции, ее наибольшее и наименьшее значения учащиеся могут находить по алгоритму, используя производную функции, но иногда это бывает или трудно сделать или получаются очень громоздкие вычисления. Если использовать свойства функции (ограниченность, монотонность и другие ), можно сэкономить время. В связи с переходом на ЕГЭ рациональность решений принимает большое значение, так как у учащегося попросту может не хватить времени на выполнение всей экзаменационной работы. Также такие задания традиционно считаются у учащихся трудными для выполнения , поэтому я остановилась на них, чтобы снять психологическую нагрузку с учащихся.

Для проведения занятия совместно с выпускницей Устюговой Дарьей создали сборник заданий по теме « Множество значений и ЕГЭ».

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. Вид урока: традиционный. Цель: Способствовать развитию умений у учащихся самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации; развивать внутреннюю мотивацию учения; воспитывать чувство ответственности каждого учащегося в усвоении знаний, порядочности при проведении самооценки.

Задачи: познакомить учащихся с методами нахождения множества значений функции , отрабатывать умения решать задания частей А, В и С из ЕГЭ, развивать у учащихся способность учиться мыслить, анализировать, продолжить работу над формированием навыков самоконтроля.

Средства обучения: ПК, диапроектор, экран, листы учета знаний и самооценки, диск СД-R (Уроки алгебры Кирилла и Мефодия), сборник «Множество значений функции и ЕГЭ».

План урока (на доске). 1. Постановка цели урока. Оценка готовности к занятию.

2. Устная работа. 3. 3. Тест.

4. Презентация методов. 5. Выполнение заданий №1-5 из сборника у доски.

6. Самостоятельная работа. 7. 7. Информация о д/з. 8. Подведение итогов. Девиз урока: «Знать, это значит уметь применять свои знания» Х.Ж. Ганеев. Ход урока.

За урок получили «5» - 3, «4» - 7, «3» - 2. Если в начале урока только один человек был готов научить другого, то в конце урока 4 учащихся отметили, что они готовы научить другого. Считаю такой результат работы учащихся на уроке хорошим.

4

Множество значений функции в заданиях ЕГЭ и при подготовке к ЕГЭ.

разобрать подходы к решению задач по теме,

для этого

• систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме;
• развивать умение анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, делать выводы;
• воспитывать самостоятельность, ответственность при проведении самооценки.

Знать, это значит уметь применять свои знания. Х.Ж.Ганеев.

Чтобы успешно решать задачи на нахождение множества значений функции нужно знать: -область определения -область значений функции -характер монотонности

При решении задач на нахождение множества значений функции применяются

▪ метод оценки

▪ графический метод

▪ использование свойств непрерывности и монотонности функции

▪ использование наибольшего и наименьшего значения функции

▪ метод введения параметра

Метод оценки

Найти Е(у) функции у = cos7x + 5cosx

Решение: -1 ≤ cos 7x ≤1,

-5 ≤ 5 cos x ≤5,

-6 ≤cos7x + 5cosx ≤6,

при x=π y= -6,

при x=0 y=6.

Ответ: E (y)=[-6;6]

Замечание. Функцию у = а sinx + bcosx можно преобразовать методом введения вспомогательного угла:

π

π

π

Π ≤

Замечание: метод оценки можно применять после преобразования функции. Границы значений функции, полученные с помощью этого метода, могут оказаться существенно расширенными.

Например: E (cos2x +2cosx)=[-3;3], что не верно.

Графический метод.

Найти E (y) функции у = cos2x +2cosx.

Решение : у(x)= cos2x +2cosx= cos 2 x – sin 2 x +2cosx =2cos 2 x +2cosx -1

Пусть cos x =t, t Є [-1;1]

y (t) = 2t 2 + 2t-1,

X 0 = -0,5, y 0 = -1,5, y(1)= 3, у(-1)=-1.

Ответ: Е(у)=[-1,5;3]

Є

Использование свойств непрерывности и монотонности функции

y(x)- монотонно возрастающая функция на [a;b],

у(a) - наименьшее значение функции, у(b) – наибольшее значение функции, тогда Е(у) =[у(а); у(b)] на[a;b].

y(x)

g(x)

Найти наименьшее значение функции у = на [0;1]

Решение . g (x) =4 x-1 +3 x+1 –непрерывная и возрастающая функция при х Є R,

как сумма двух непрерывных возрастающих функций, тогда у =

-убывающая функция при х Є R, тем более при х Є [0;1].

Значит, наименьшее значение функция будет принимать на правом конце интервала,

у(1)= Ответ : 0,1

Использование наибольшего и наименьшего значения функции

Найти множество значений функции y =

Решение . cos 3 x -3sin 2 x +3=cos 3 x -3(1-cos2x)+3=cos 3 x + 3cos 2 x.

Пусть t(x) = cosx, t Є [-1;1]; тогда у=

Рассмотрим g(t)= t 3 +3t 2 на [-1;1].

По свойству непрерывной функции множество значений g(t) заключено между ее наибольшим и наименьшим значением на данном отрезке.

g’(x) = 3t 2 +6t, g’(x) =0, тогда 3t(t+2)=0

t=0 или t=-2, 0 Є[-1;1]

g(0) =0, g(-1)=2, g(1)=4, значит наибольшее g(x) равно 4, а наименьшее 0.

Тогда E(g(t)) =[0;4].

Функция у= - непрерывная и возрастающая, тогда наименьшее значение у(0) = , наибольшее значение у(4) = .

Ответ : Е(у) =[3;48]

Метод введения параметра

Найти множество значений функции

Решение . Д(у) =R. Рассмотрим данное равенство как уравнение с параметром у.

yx 2 + y=x 2 -3x+1

(y-1)x 2 +3x + (y-1)=0

1). Если у=1, то 3х=0, х=0.

2). Если у ≠1, то квадратное уравнение имеет корень, если Д ≥ 0.

Д = 9 – 4 (у-1) 2 , 9 – 4 (у-1) 2 ≥ 0,

(у-1) 2 ≤ 2,25,

Iy-1I ≤ 1,5,

-1,5 ≤ у-1 ≤ 1,5,

E(y) =[-0,5;1) υ(1;2,5]

Объединяя (1) и (2), получаем Е(у) =[-0,5;2,5].

Ответ : Е(у) =[-0,5;2,5]