Урок в 9 классе "Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена"

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Психологическая минутка.

Притча (слайд 1)

Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на луг, поймал бабочку, сжал её между сомкнутых ладоней и подумал: «Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мёртвая? Если он ответит, что мёртвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет – живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил её между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка – живая или мёртвая?» Но мудрец ответил: «Всё в твоих руках».

-- Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца «Всё в твоих руках» и пусть эти слова будут девизом нашего урока.

Актуализация знаний

-- Вы перешли к изучению одной из интересных тем алгебры 9 класса – «Числовые последовательности». Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим, готовы ли вы к восхождению.

--Что называют последовательностью?

--Как называют числа, образующие последовательность?

-- Функцию y=f(x),x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью.

-- Членами последовательности.

--Как можно задать последовательность?

Аналитически,с помощью формулы n-го члена

Словестно, в устной форме

Рекуррентно.

--Какая формула называется рекуррентной?

--Формула, позволяющая вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены

Последовательности заданы формулами, назовите пропущенные члены последовательности (слайд2)

1; __; 9; __; 25.

__; ;__; __;

4, 16

-3, -5,-6

Назовите первые пять членов последовательности ( ), если + 4, (n=2, 3, 4…)

3, 7, 11, 15, 19

На экране появляются несколько числовых последовательностей (слайд 3):

--Предложенные числовые последовательности распределите на две группы, назовите их общий признак.

--В первой группе следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа

-- Во второй группе следующий член последовательности получается при умножении предыдущего на число.

--Сегодня мы остановимся на последовательностях первой группы. Такие последовательности назвали арифметической прогрессией.(слайд4)

Тема нашего урока: «Определение арифметической прогрессии. Формула n – го члена арифметической прогрессии». (слайд )

Записывают тему в тетрадь.

Ознакомление с новым материалом.

--Итак, давайте, вернёмся к последовательностям первой группы, назовите их общее свойство.

Это число назвали разностью прогрессии и обозначают буквой d.(слайд5)

Попробуйте сформулировать определение арифметической прогрессии.

-- В первой группе следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа.

Записывают в тетрадь.

Ученики формулируют.

Арифметическая прогрессия – последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.

--Ребята, слово «Прогрессия» означает движение вперёд. Именно движение вперёд заставляло математиков разных времён совершать различные открытия. Свои математические открытия древние математики совершали в связи с необходимостью различных расчётов в строительстве, земледелии. Примером тому могут служить великие математики и астрономы Древнего Египта.

На этом слайде(слайд6) мы видим как создавалась пирамида. Египетские пирамиды были построены благодаря не только упорному труду, но и математической мысли. Достижения египетских математиков непостижимы не только по своему совершенству, но и по точности математических расчётов.

Математические правила нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах.(слайд7)

Один из таких папирусов сохранился до наших времён. Он был назван по имени владельца, приобретшего этот папирус в 1858г. Папирус Райнда, 19в. до нашей эры. На нём записана задача на арифметическую прогрессию: «Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет 1/8 меры». Но сегодня мы не сможем решить эту задачу, к ней мы вернёмся позже, когда изучим другие формулы, необходимые нам.

Формирование понятия разности арифметической прогрессии.

Найти разность арифметической прогрессии (слайд8)

1;4;7;10;13…

1;3;5;7;9…

6;16;26;36;46…

-13;-15;-17…

17;17;17…

Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией? (слайд 9)

Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и тоже число, то данная последовательность является арифметической прогрессией.

Проверьте: является ли последовательность арифметической прогрессией? (слайд 10)

• а) – 2; – 4; – 6; – 8; –10; ...

• б) – 13; – 3; 13; 23; …

Да

нет

Дан первый член прогрессии ( ) и разность d = 5. Назовите первые пять членов арифметической прогрессии.(слайд11)

20,25,30,35,40

-- Всегда ли удобно пользоваться рекуррентной формулой для нахождения n –го члена арифметической прогрессии?

Не всегда

--Когда нет?

Если нам необходимо найти, например, , то предварительно нужно найти предшествующие 99 членов последовательности

Формула n –го члена арифметической прогрессии

Перед учащимися ставится задача нахождения более удобного способа для нахождения n –го члена арифметической прогрессии. Для решения этой задачи приглашается один ученик, который самостоятельно выводит формулу n –го члена арифметической прогрессии.

Дано: ; d.

Найти:

…

Учащиеся записывают в тетрадь

Таким образом, получили формулу n –го члена арифметической прогрессии.(слайд 12)

Первичное осмысление и применение изученного.

Задание 1.(слайд13)

Устно, обратить внимание на оформление.

-- ар. пр.

d = 0,24

-- ?

= + 49d = 0,62 + 49*0,24=12,38

Задание №2 (слайд 14). Решаем вместе, 1 ученик у доски.

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Какова будет продолжительность ванны на 5 день лечения?

-- ар. пр.

d = 10

-- ?

Задание № 3 Проводим подробный анализ данной задачи, но в классе не решаем, это д. з.

В школе-новостройке учатся 400 учеников. Каждый год число учеников увеличивается на 20. Сколько учащихся будет в школе на 5 год обучения?

• Школа рассчитана на обучение 550 учащихся. Через сколько лет будет достигнута эта норма?(творческое, дополнительное)

Контроль.

Ребята у вас на столах лежат карточки с заданиями, заполните пустые клетки.(см. приложение)(слайд15)

Ученики заполняют самостоятельно, проверка через проектор.

Постановка д. з.

Д. з. на карточке.

Подведение итогов урока.

Теперь подведём итоги. Возвращаясь к эпиграфу нашего урока, я хочу узнать, прав ли был мудрец «Всё в твоих руках»?

Что нового вы узнали на уроке?

Трудным ли для вас было покорение новой математической вершины? Я хочу узнать где вы находитесь – по-прежнему у подножия горы, на середине пути или на вершине, изобразите себя на листах. (слайд16)