Устные упражнения по геометрии 11 на тему:Сфера и шар.

Вопросы и задания для устной работы по геометрии в 11 классе.

Тема: Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Составила: учитель математики Пономарева Юлия Васильевна

МБОУ Каменно-Балковской СОШ, Ростовской Области.

Содержание.

1. Занимательные факты по теме.

2. Устные упражнения 1 уровень.

3. Устные упражнения 2 уровень.

Занимательные факты.

Слово «сфера» происходит от греческого σφαιρα, что в переводе означает «оболочка».

С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально в архитектуре использовались только полуциркульные арки или полусферические купола. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол – половину сферы. Например, именно полусферический купол имеет Пантеон – храм всех богов – в Риме. Диаметр купола составляет 43 м. При этом высота стен Пантеона равна радиусу полусферы купола. В связи с этим получается, что само здание этого храма как бы «накинуто» на шар диаметром 43 м. Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей, или амфитеатр Флавиев. Свое название он получил от латинского слова colosseus, которое переводится как «колоссальный» или «огромный». Эта же конструкция использовалась при создании гигантских терм Каракаллы и Диоклетиана, вмещавших одновременно до 3 тыс. посетителей. Сюда же следует отнести и систему арочных водоводов-акведуков, общая протяженность которых составляла 60 км.

В Древнем Китае орденами считались шарики на шапках вельмож. Камень-постамент весом 1500 т для статуи Медного всадника в Санкт-Петербурге доставили на место при помощи чугунных ядер-шаров, катившихся по специальным направляющим лоткам.

Форму шара имеет голландский сыр «Эдем», который покрыт красной восковой корочкой.

Самые ценные жемчужины имеют идеально круглую форму. Жемчуг неправильной формы ценится дешевле.

В метеорологии в прежние времена (до 1930-х гг.) для определения состояния верхних слоев атмосферы использовались шары-зонды. Позже стал использоваться радиозонд, хотя приборы и теперь поднимаются на шаре, но их показания немедленно передаются на Землю.

Между Баренцевым и Карским морями находится пролив под названием Маточкин Шар.

На одну из лекций П.Л. Чебышева, посвященной применению

математики в производстве одежды, собралось много знатных модельеров и дизайнеров, экспертов элегантности. Чебышев начал лекцию известной математической фразой: «Предположим, что тело человека имеет сферическую форму». Продолжение лекции звучало в пустом зале, так как шокированная публика покинула помещение.

До сих пор не установлена окончательно причина образования шаровой молнии. Ясно только, что в шаре – плазма. Непонятно, почему образуется именно шар и почему он «отправляется гулять».

Опал состоит из мельчайших сферических частиц, разделенных пустотами. Свет отражается и рассеивается от правильно расположенных сфер и пустот между ними. Размеры сфер и пустот разные, и от этого зависит цвет опала. Тайна происхождения этого камня еще не раскрыта.

Герон Александрийский сконструировал шар, вращаемый силой струи пара. Первый сконструированный им паровой двигатель он сам назвал «ветряной шар».

Пифагор разделял представления о сферичности мироздания и первым назвал Вселенную космосом. Позже он увлекся идеей музыки сфер, стремясь связать гармонические звуки с планетарными сферами. Он исходил из того, что интервал в пространстве между планетами – тот же, что и шкала высоты музыкального звука. Каждая планета, двигаясь с постоянной скоростью, проходит определенное расстояние, создавая звук. По мере того как рас­

стояние планет от центра увеличивается, а вращение планет ускоряется, звук становится выше. Именно так представлял Пифагор музыку, звучащую во Вселенной.

Аристотель считал, что Вселенная конечна и заключена в несколько небесных сфер.

Шары для бильярда должны иметь идеально правильную форму, и их центр тяжести должен полностью совпадать с геометрическим центром. Сегодня для их производства используют специальные искусственные материалы – такой шар может упасть на асфальт с высоты 10 этажей и не разбиться.

Л. Эйлер считал, что для образования замкнутой сферической поверхности необходимо иметь 12 пятиугольников, а число шести угольников может меняться в разных пределах. Например, в оболочке современного футбольного мяча можно найти 12 шестиугольников.

В старину мужчины рода Медичи вдохновляли сограждан на борьбу с феодалами криками: «Шары! Шары!», забрасывая их шарами – отвесами ткацких станков. Позднее шары перекочевали на родовой герб Медичи, и их стали ошибочно принимать за пилюли.

На протяжении нескольких последних десятилетий южноафриканские шахтеры находили сотни металлических шаров, из которых по меньшей мере один имел 3 параллельные насечки, опоясывающие его как бы по экватору. Шары эти двух разновидностей: одни цельные, другие полые. Происхождение этих шаров, которые находят в основном в горной породе пирофиллит, до сих пор остается загадкой.

Устные упражнения 1 уровень.

1. Что в переводе с греческого означает термин «сфера»? Приведите примеры однокоренных слов. Что они означают?

2. Приведите примеры предметов, имеющих форму шара.

3. Какое тело пифагорейцы считали самым совершенным?

4. Форму какого геометрического тела принимает капля ртути разбившегося градусника?

5. На картине какого известного художника изображена девочка на шаре?

6. Дайте определение: а) сферы; б) шара через понятие геометрического места точек (ГМТ).

7. Назовите основные элементы: а) сферы; б) шара.

8. Что называется: а) большой окружностью сферы; б) большим кругом шара? Каков радиус большого круга? Сколько больших кругов можно провести в одном шаре?

9. Каким свойством обладает большой круг?

10. Какая плоскость называется касательной к сфере?

11. Сколько касательных плоскостей можно провести через точку сферы?

12. Назовите все случаи взаимного расположения сферы и плоскости. От чего они зависят?

13. Выберите неверное утверждение.

а) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

б) Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг диаметра.

в) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

г) Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости.

д) Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

14. Есть ли на поверхности шара какие-либо направления, с которыми может совпадать ребро линейки?

15. Шар радиуса 5 см пересечен плоскостью, отстоящей от центра на расстояние 3 см. Вычислите площадь круга, полученного в сечении.

16. Плоскость удалена от центра сферы радиуса R на расстояние d. Сравните R и d, если плоскость касается сферы.

17. Сколько сфер можно провести: а) через одну и ту же окружность; б) через окружность и точку, не принадлежащую ее плоскости?

18. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса?

19. Сколько касательных прямых можно провести к данной сфере через данную точку: а) на сфере; б) вне сферы?

20. Какие ученые связали идею об устройстве Вселенной со сферой? В чем суть этих теорий?

Устные упражнения 2 уровень.

1. Выберите неверное утверждение.

а) Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

б) Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере.

в) Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящий через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

г) Сечение сферы плоскостью есть круг.

2. Сфера, радиус которой равен 10 дм, пересечена плоскостью на расстоянии 8 дм от центра. Чему равна длина окружности сечения?

3. При каком условии сечения шара плоскостью: а) равны;

б) имеют разные площади, какое из них больше?

4. Через середину радиуса шара проведена плоскость, перпендикулярная к радиусу. Какую часть площади большого круга составляет площадь круга, полученного в сечении?

5. Верно ли, что через две точки сферы проходит один большой круг?

6. Можно ли, укрепив полукруг или круг на центробежной машине (рис.), путем быстрого вращения этого полукруга или круга получить поверхность шара?

рис.

7. Сколько общих точек могут иметь сфера: а) и прямая; б) и плоскость; в) и другая сфера?

8. Верно ли, что окружность лежит на сфере, если она имеет со сферой: а) две общие точки; б) три общие точки?

9. Что представляет собой на поверхности земного шара меридиан? Сколько меридианов можно провести? Где находятся центры этих кругов? Чему равен радиус этих кругов?

10. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проведен шар радиуса R. Какой величины должен быть радиус шара, чтобы задача имела решение? При каком условии через эти точки проходит: а) хотя бы один шар; б) только один шар радиуса R?

11. Где расположены центры шаров, касающихся двух: а) параллельных плоскостей; б) пересекающихся плоскостей.

12. Принимая Землю за шар, радиус которого R, найдите длину параллели, широта которой a.

13. Принимая Землю за шар, найдите на какой широте параллель в два раза меньше экватора.

14. Приведите примеры использования предметов, имеющих форму шара, в быту и в технике.