СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 07.07.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Линейные и квадратные неравенства

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Просмотр содержимого презентации
«lineynye-kvdratnye-neravenstva»

НЕРАВЕНСТВА (8 КЛАСС)

НЕРАВЕНСТВА

(8 КЛАСС)

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

  • Линейные неравенства
  • Квадратные неравенства
Линейные неравенства  (8 класс)

Линейные неравенства

(8 класс)

Неравенства бывают:   линейные   квадратные   рациональные  иррациональные

Неравенства бывают:

линейные

квадратные

рациональные

иррациональные

а а х ≥ а Обозначение (а ; + ∞) а х Название числовых промежутков в открытый луч [а ; + ∞) (- ∞; в) луч открытый луч х ≤ в в а а ≤ х ≤ в (- ∞; в] а в а ≤ х луч а в (а ; в) а в интервал [а ; в] отрезок [а ; в) полуинтервал" width="640"

Вспомним:

Аналитическая модель

Геометрическая модель

х а

а

х ≥ а

Обозначение

(а ; + ∞)

а

х

Название числовых промежутков

в

открытый луч

[а ; + ∞)

(- ∞; в)

луч

открытый луч

х ≤ в

в

а

а ≤ х ≤ в

(- ∞; в]

а в

а ≤ х

луч

а в

(а ; в)

а в

интервал

[а ; в]

отрезок

[а ; в)

полуинтервал

8 д ) х е ) -4 ж ) -2≤х" width="640"

Изобразите на координатной прямой промежуток (работаем в парах) :

1 ) [-2;4]

2 ) (-3;3)

3 ) (3;+∞)

4 ) (-∞;4]

5 ) (-5;+∞)

6 ) (0;7]

а ) х≥2

в ) х≤3

с ) х8

д ) х

е ) -4

ж ) -2≤х

в; а≥в или а в; а≤в называется неравенством Неравенства вида а ≥в , а≤в называются нестрогими. Неравенства вида а в , а в называются строгим 4) Решени ем неравенства с одной переменной называется то значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство" width="640"

Линейные неравенства

Определения:

  • Запись вида а в; а≥в или а в; а≤в называется неравенством
  • Неравенства вида а ≥в , а≤в называются

нестрогими.

  • Неравенства вида а в , а в называются

строгим

4) Решени ем неравенства с одной переменной называется то значение переменной, которое обращает его в верное числовое

неравенство

Линейные неравенства Правила: 1)  Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не изменится .

Линейные неравенства

Правила:

1) Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не изменится .

Линейные неравенства Правила: 2)  Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число , при этом знак неравенства не изменится .

Линейные неравенства

Правила:

2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число , при этом знак неравенства не изменится .

Линейные неравенства Правила:  3)  Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число , при этом знак неравенства  изменится на противоположный .

Линейные неравенства

Правила:

3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число , при этом знак неравенства изменится на противоположный .

13х+45 Решение: 16х-13х 45 слагаемое 13х с противоположным знаком перенесли в левую часть неравенства 3х 45 привели подобные слагаемые х 15 поделили обе части неравенства на 3 15 х Ответ: (15;+∞)" width="640"

Решим неравенство : 16х13х+45

Решение:

16х-13х 45 слагаемое 13х с противоположным знаком

перенесли в левую часть неравенства

3х 45 привели подобные слагаемые

х 15 поделили обе части неравенства на 3

15 х

Ответ: (15;+∞)

Решить неравенство:  2х  +  4  ≥  6  2х ≥  - 4 + 6  2х ≥ 2  х  ≥ 1 х 1 Ответ: [1 ;+∞).

Решить неравенство:

+ 4 6

2х ≥ - 4 + 6

2х ≥ 2

х ≥ 1

х

1

Ответ: [1 ;+∞).

3; 3) х ² +х х(х-5)+2;" width="640"

Решить неравенства в парах:

1) х+2 ≥ 2,5х-1;

2) х- 0,25(х+4)+0,5(3х-1) 3;

3) х ² х(х-5)+2;

Проверим: х+2 ≥ 2,5х-1 2) х ² +х  х(х-5)+2 Решение:  х ² +х  х ² +х - х ² +5х  6х  х  ⅓ х  Ответ: (-∞;⅓) Решение:  х-2,5х ≥ -2 -1  - 1,5х ≥ - 3  х ≤ 2  2 х  Ответ : (-∞;2 ]

Проверим:

  • х+2 ≥ 2,5х-1

2) х ² х(х-5)+2

Решение:

х ² +х

х ²- х ² +5х

х

⅓ х

Ответ: (-∞;⅓)

Решение:

х-2,5х ≥ -2 -1

- 1,5х ≥ - 3

х ≤ 2

2 х

Ответ : (-∞;2 ]

14 5 ) 3-9х≤1-х 6 ) 5(х+4) Вариант 2. 1 ) 2х≥18 2 ) -4х16 3 ) 5х+11≥1 4 ) 3-2х 5 ) 17 х -2≤ 12х-1 6 ) 3 (3 х-1 ) 2(5х-7)" width="640"

Самостоятельная работа по вариантам: решить неравенства

Вариант 1.

1 ) 3х≤21

2 ) -5х

3 ) 3х+6≤3

4 ) 2-6х14

5 ) 3-9х≤1-х

6 ) 5(х+4)

Вариант 2.

1 ) 2х≥18

2 ) -4х16

3 ) 5х+11≥1

4 ) 3-2х

5 ) 17 х -2≤ 12х-1

6 ) 3 (3 х-1 ) 2(5х-7)

Проверим ответы: Вариант 1.  1 ) (-∞;7]  2 ) (7;∞)  3 )  (-∞;-1]  4 ) (-∞;-2)  5 )  [0,25;∞)  6 ) (10;∞)  Вариант 2.  1 )  [9;∞)  2 ) (-∞;-4)  3 ) [-2;∞)  4 ) (2;∞)  5 ) (-∞;0,5]  6 ) (-∞;9)

Проверим ответы:

Вариант 1.

1 ) (-∞;7]

2 ) (7;∞)

3 ) (-∞;-1]

4 ) (-∞;-2)

5 ) [0,25;∞)

6 ) (10;∞)

Вариант 2.

1 ) [9;∞)

2 ) (-∞;-4)

3 ) [-2;∞)

4 ) (2;∞)

5 ) (-∞;0,5]

6 ) (-∞;9)

Самостоятельная работа  Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства :  1)  2(х-3)-1-3(х-2)-4(х+1)  0;  2)  0,2(2х+2)-0,5(х-1)  2

Самостоятельная работа

Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства :

1) 2(х-3)-1-3(х-2)-4(х+1) 0;

2) 0,2(2х+2)-0,5(х-1) 2

-1 -1 х Ответ: 0 2) 0,2(2х+2)-0,5(х-1) 2 0,4х +0,4 -0,5х +0,5 -0,1х -0,1х х 11 11 х Ответ: 12" width="640"

Проверим:

1)

2(х-3)-1-3(х-2)-4(х+1) 0

-6-1 -3х +6 -4х -4

-5х

х -1

-1 х

Ответ: 0

2)

0,2(2х+2)-0,5(х-1) 2 0,4х +0,4 -0,5х +0,5

-0,1х

-0,1х

х 11

11 х

Ответ: 12

Решаем сами:  Найдите наименьшее натуральное число, являющееся решением неравенства 3х-3  х+4 Решение:  3х – х  2х  х  0  3,5 х  Ответ: 1

Решаем сами:

Найдите наименьшее натуральное число, являющееся решением неравенства 3х-3 х+4

Решение: 3х – х

х

0 3,5 х

Ответ: 1

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА (8 класс)

КВАДРАТНЫЕ

НЕРАВЕНСТВА

(8 класс)

0 ах ² + b х+с ≥ 0 ах ² + b х+с 0 ах ² + b х+с ≤ 0" width="640"

Квадратные неравенства

Определение: Квадратным называется

неравенство, левая часть которого −

квадратный трёхчлен, а правая часть

равна нулю:

ах ² + b х+с 0 ах ² + b х+с 0

ах ² + b х+с 0 ах ² + b х+с 0

Решением неравенства  с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство Решить неравенство  − это значит найти все его решения или установить, что их нет.
  • Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство
  • Решить неравенство − это значит найти все его решения или установить, что их нет.
0 Б) 2х - 4 0 В) 4х ² - 2х ≥ 0 Г) 3у – 5у ² + 7 0 Д) 4 – 6х + 5х ² ≤ 0 Е) 5у⁴ +3у - 6 0" width="640"

Являются ли следующие неравенства квадратными?

А) 4у ² - 5у +7 0

Б) 2х - 4 0

В) 4х ² - 2х 0

Г) 3у – 5у ² + 7 0

Д) 4 – 6х + 5х ² 0

Е) 5у⁴ +3у - 6 0

Основные способы решения квадратных неравенств: Метод интервалов Графический метод

Основные способы решения квадратных неравенств:

  • Метод интервалов
  • Графический метод

0 методом интервалов надо : 1) Найти корни соответствующего квадратного уравнения ах ² +вх+с = 0; 2) Корни уравнения нанести на числовую ось; 3) Разделить числовую ось на интервалы ; 3) Определить знаки функции в каждом из интервалов; 4) Выбрать подходящие интервалы и записать ответ." width="640"

Запомним:

Чтобы решить квадратное неравенство ах ² +вх+с 0 методом интервалов надо :

1) Найти корни соответствующего

квадратного уравнения ах ² +вх+с = 0;

2) Корни уравнения нанести на числовую ось;

3) Разделить числовую ось на интервалы ;

3) Определить знаки функции в каждом из интервалов;

4) Выбрать подходящие интервалы и

записать ответ.

Решим квадратное неравенство методом интервалов: Дано неравенство: х ² + х – 6 ≥ 0 Решение: 1) решим соответствующее квадратное уравнение х ² + 5х – 6 = 0.  Т.к. а+в+с=0, то х₁ =1 , а х₂ = - 6  2)  -6 1 х  3) Запишем ответ :  (-∞; -6 ]U[ 1; +∞)

Решим квадратное неравенство методом интервалов:

Дано неравенство: х ² + х – 6 ≥ 0

Решение: 1) решим соответствующее квадратное уравнение х ² + 5х – 6 = 0.

Т.к. а+в+с=0, то х₁ =1 , а х₂ = - 6

2)

-6 1 х

3) Запишем ответ :

(-∞; -6 ]U[ 1; +∞)

0; 3) х ² +2х≥0; 4) -2х ² +х+1≤0 Проверим ответы:" width="640"

Работаем в парах:

Решить неравенства:

1) х ² -3х

2) х ² -4х 0;

3) х ² +2х≥0;

4) -2х ² +х+1≤0

Проверим ответы:

  • (0;3)
  • (-∞;0) U (4;+∞)
  • (-∞; -2 ]U[ 0; +∞)
  • (-∞; - 0,5 ]U[ 1; +∞)
0; 5) х(х+2) Проверим ответы: 1) (-∞;-7 ]U[ 0; + ∞ ) 2) [ -2;1 ] 3) (-∞;-1) U (2; + ∞ ) 4) (-6;1) 5) (-5;3)" width="640"

Решите неравенства методом интервалов самостоятельно:

Решить неравенства

1) х(х+7) ≥0;

2) (х-1)(х+2)≤0;

3) х- х ² +2

4) -х ² -5х+6 0;

5) х(х+2)

Проверим ответы:

1) (-∞;-7 ]U[ 0; + )

2) [ -2;1 ]

3) (-∞;-1) U (2; + )

4) (-6;1)

5) (-5;3)

Графический метод решения квадратного неравенства: 1).Определить направление ветвей параболы, по знаку первого коэффициента квадратичной функции. 2). Найти корни соответствующего квадратного уравнения ; 3). Построить эскиз графика и по нему  определить промежутки, на которых  квадратичная функция принимает  положительные или отрицательные  значения

Графический метод решения квадратного неравенства:

1).Определить направление ветвей параболы, по знаку первого коэффициента квадратичной функции.

2). Найти корни соответствующего квадратного уравнения ;

3). Построить эскиз графика и по нему

определить промежутки, на которых

квадратичная функция принимает

положительные или отрицательные

значения

Например: Решить графически неравенство х ² +5х-6≤0 Решение: рассмотрим у = х ² +5х-6,  это квадратичная функция, графиком является парабола, т.к. а=1, то ветви направлены вверх.  у  +   +  -6  1 x  Ответ: [-6;1 ]

Например:

Решить графически неравенство х ² +5х-6≤0

Решение: рассмотрим у = х ² +5х-6,

это квадратичная функция, графиком является парабола, т.к. а=1, то ветви направлены вверх.

у

+ +

-6 1 x

Ответ: [-6;1 ]

0; 3) х ² +2х≥0; 4) -2х ² +х+1≤0 Проверим ответы: (0;3) (-∞;0) U (4;+∞) (-∞; -2 ]U[ 0; +∞) (-∞; - 0,5 ]U[ 1; +∞)" width="640"

Решите графически неравенства в парах:

1) х ² -3х 0;

2) х ² -4х 0;

3) х ² +2х≥0;

4) -2х ² +х+1≤0

Проверим ответы:

  • (0;3)
  • (-∞;0) U (4;+∞)
  • (-∞; -2 ]U[ 0; +∞)
  • (-∞; - 0,5 ]U[ 1; +∞)

Всем СПАСИБО  ЗА УРОК!!!

Всем

СПАСИБО

ЗА УРОК!!!

http://www.istina.org/Video/Glbs.JPG   http://www.ufps.kamchatka.ru/uploads/news/school_/Colorful%20notebooks%20and%20pen.jpg  http://88.198.21.149/images/photoframes/2010/6/02/17/55/ZkYjfVBHuYRh97SNf65.jpg   http://psychology.careeredublogs.com/files/2010/02/school.jpg

http://www.istina.org/Video/Glbs.JPG

http://www.ufps.kamchatka.ru/uploads/news/school_/Colorful%20notebooks%20and%20pen.jpg

http://88.198.21.149/images/photoframes/2010/6/02/17/55/ZkYjfVBHuYRh97SNf65.jpg

http://psychology.careeredublogs.com/files/2010/02/school.jpg


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!