Лист Мёбиуса и опыты с ним

Министерство образования Республики Саха (Якутия)

МОУ «Мегино-Кангаласское управление образования»

МБОУ «Майинская средняя общеобразовательная школа

имени В.П.Ларионова с углубленным изучением отдельных предметов»

Лист Мёбиуса и опыты с ним

Каратаева Айыына, ученица 6 «а» класса

Руководитель Андреева Изабелла Николаевна,

учитель математики высшей категории

с.Майя 2016 г

Содержание

Введение …………………………………………………………………………………………………………1

Актуальность …………………………………………………………………………………………………..2

Цель …………………………………………………………………………………………………………………2

Задачи ……………………………………………………………………………………………………………..2

Методы ……………………………………………………………………………………………………………2

Этапы научно – исследовательской работы …………………………………………………2

Часть I. Теоретическая часть ………………………………………………………………………….3

• Из истории. Август Фердинант Мёбиус ……………………………………………………

•Мёбиус и топология ..............................................................................................

• Применение листа Мёбиуса в технике ……………………………………………………….

•Лист Мёбиуса в произведениях искусства …………………………………………………..

• Скульптуры в виде ленты Мёбиуса………………………………………………………………

• Лист Мёбиуса в быту ……………………………………………………………………………………

• Лист Мёбиуса на различных логотипах, значках ………………………………………..

• Лист Мёбиуса в литературе ………………………………………………………………………..

Часть II. Экспериментальная часть

Эксперимент №1. Сколько сторон у листа Мёбиуса? …………………………………

Эксперимент №2. Итоги опытов с разрезанием листа Мёбиуса ……………….

Эксперимент №3. Разрезание листа Мёбиуса ……………………………………………..

Эксперимент №4. Обычное кольцо и ленту Мёбиуса ………………………………….

Эксперимент №5. Сколько раз поворачиваем …………………………………………….

Эксперимент №6 Разрезания лент ………………………………………………………………

Заключение ......................................................................................................

Введение

Актуальность

• Выбор темы сделан из- за нашего интереса к этому топологическому объекту;

• Топология в наше время бурно развивается и применяется в различных областях.

Цель

• Исследовать свойства удивительного топологического объекта – листа Мёбиуса

Задачи

• Изучить математическую литературу о этом объекте, исследовать полученную информацию.

• Изучить опыты с листом Мёбиуса и провести эксперименты.

• Вывести свойства листа Мёбиуса.

• Выяснить, где применяется листа Мёбиуса.

Методы

• анализ информации

• наблюдение

• сравнение

• практический эксперимент

Этапы научно – исследовательской работы

•Подготовка доклада, изучение материалов. Ноябрь 2016 г.

Часть I. Теоретическая часть

Из истории

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: лента Мёбиуса) придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинант Мёбиус (1790 - 1868), ученик «короля математиков» Гаусса, профессор Лейпцигского университета. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

Мёбиус и топология

Мёбиуса считают основателем топологии – науки, изучающей свойства фигур, не изменяющихся при любых деформациях, без разрывов и склеиваний.

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием топология (по – другому «геометрия положения»). Удивительные свойства лист Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, - не связаны с го положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятия и теоремы топологии полезны математикам почти всех специальностей. Она используется и при применении математики в технике, экономике, психологии.

Применение листа Мёбиуса в технике

• Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

• Также в системах записи на непрерывную пленку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

• Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа

Мебиуса для увеличения ее ресурса.

•Ленты для заточки ножей в ленты Мёбиуса

Лист Мёбиуса в произведениях искусства

• Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил его посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту.

• Одна из известных – лист Мёбиуса показывает муравьев, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Скульптуры в виде ленты Мёбиуса

Лист Мёбиуса в быту

Лист Мёбиуса на различных
логотипах, значках

Лист Мёбиуса на значке механико – математического факультета МГУ.

Интернациональный символ повторного использования

Библиотечка Квант

Лист Мёбиуса в литературе

Лента Мёбиуса – любимый объект фантастических рассказов. В одном из них, например, пропал поезд Нью – Йоркского метро. Оказалось, что один из маршрутов пролегал по ленте Мёбиуса, поезд затерялся во времени.

Часть II. Экспериментальная часть

Лист Мёбиуса

Берем бумажную ленту АВСД, разделенную по ширине пополам пунктирной линией, прикладываем ее концы АД и ВС друг другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В - с точкой Д. Перед склейкой перекрутим ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название – лист Мёбиуса.

Эксперимент №1. Разрезание листа Мёбиуса

Попробуем разрезать обычное кольцо и лист Мёбиуса

Режу ножницами склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Если разрезать не перекрученную ленту, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких.

Возьмем лист Мёбиуса. Режу ножницами склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено не один раз, а два.

Разрежем это кольцо еще раз посередине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено.

Вот какие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из нее лист Мёбиуса. У этого листа масса удивительных свойств. Сейчас убедимся в этом.

Эксперимент №2. Сколько сторон у листа Мёбиуса?

У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, имеется две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

Убедимся в этом: возьмем кисти и краски, начнем постепенно окрашивать его в какой – нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист полностью окрашен.

«Если кто – нибудь вздумает раскрасить «только одну» сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге «Что такое математика».

• У листа Мёбиуса – всего одна сторона

Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную – муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезть через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!

Солдатик – перевертыш

Вырежем бумажного солдатика и отправим его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса. И вот он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершать еще одно «круглолистное» путешествие.

Эксперименты для всех

Итоги опытов с разрезанием листа Мёбиуса

Возьмем ленту, разделим каждую ее сторону на три одинаковые полоски и склеим, перекрутив один раз лист Мёбиуса. Будем резать по пунктирной линии. Если бы лента не была перекручена, то сначала мы бы отрезали одно кольцо, а потом еще два остальных. Всего три кольца, каждое той же длины, что и первоначальное, но втрое меньшей ширины. Но у нас лист Мёбиуса. И, «не отрывая» ножниц от бумаги, разрежем по всем пунктирным линиям сразу и получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе – лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Приготовим несколько листов Мёбиуса, перед склейкой разделив ленту на четыре и пять равных полос. Разрежем по пунктирным линиям. Результаты о поведении листа Мёбиуса запишем в виде таблицы.

Эксперимент №4.

Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии

Получилась квадратная рамка

Эксперимент №5

Эксперимент №6 Разрезания лент

Если перед склейкой перекрутить ленту дважды, а потом разрезать посередине.

Если перед склейкой перекрутить ленту трижды, а потом разрезать пополам.

Поставили немало экспериментов по разрезанию лент. Результат запишем в виде таблицы.

Заключение

• В ходе экспериментов доказаны следующие свойства листа Мёбиуса:

• Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона и только один край!

• Непрерывность. Если двигаться не пересекая края ленты по ее центру, то конца движению не будет.

• Двусвязность. Если разрезать его вдоль, он превратиться не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

• Лист Мёбиуса широко применяется в технике, в искусстве, в литературе, в быту, в архитектуре, в дизайне.

Список использованной литературы

1. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах. Лист Мёбиуса. С.13 – 15, М. «Просвещение», 1977.

2. Школьная энциклопедия. Математика. Под ред. Никольского С.М. М. Научное изд. «Большая Российская энциклопедия», 1996

3. Энциклопедия для детей. Аванта +. Математика, т.11.М.Аванта+. 2003

4. Интернет – ресурс:

●hhtps//ru.m.wikipedia.org

●buckses.info