Логарифм и его свойства

Алгебра и начала математического анализа

Понятие логарифма

Что такое логарифм?

По большому счёту, логарифм — это просто перевёрнутая степень. Рассмотрим выражение 2³ = 8. В нём:

2 — основание степени;

3 — показатель степени;

8 — результат возведения в степень.

У возведения в степень существует два обратных выражения.

В одном мы ищем основание (это извлечение корня), в другом — показатель (это логарифмирование).

Таким образом, выражение 2³ = 8 можно превратить в log₂ 8 = 3.

Закрепляем знания: логарифм — это число, в которое нужно возвести 2 (основание степени), чтобы получить 8 (результат возведения в степень).

Форма записи неинтуитивна, и поначалу можно легко спутать основание со степенью. Чтобы избежать этого, можно использовать следующее правило:

Основание у логарифма, как и у возведения в степень, находится внизу.

Чтобы лучше запомнить структуру записи, посмотрите на эти выражения и постарайтесь понять их смысл:

log₃ 9 = 2, так как 3² = 9

log₄ 64 = 3, так как 4³ = 64

В общем виде запись log_AB читается так: логарифм B по основанию A.

Вычислить:

log₅ 625 =

log₇ 343 =

log₁₀ 100 =

log₂ 128 =

Ответы:

log₅ 625 = 4

log₇ 343 = 3

log₁₀ 100 = 2

log₂ 128 = 7

Алгебра и начала математического анализа

Свойства и формулы логарифмов (часть 1)

Список операций, которые можно совершать с логарифмами, ограничен.

У всех логарифмов есть ограничения. Их основание и аргумент должны быть больше нуля, при этом основание не может быть равно единице. На математическом языке это звучит так:

П ерейдём к свойствам логарифмов. Они работают в обе стороны, и их применяют как слева направо, так и справа налево.

1. Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю:

Н апример: log₁₇ 1 = 0

2. Логарифм, где число и основание совпадают, равен единице:

Н апример: log₁₇ 17 = 1

3. Основное логарифмическое тождество:

Например: log₁₇ 17⁵ = 5

4. Логарифм произведения чисел равен сумме их логарифмов:

Например: log₅ 12,5 + log₅ 10 = log₅ (12,5 ∙ 10) = log₅ 125 = 3

5. Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:

Например: log₃ 63 − log₃ 7 = log₃ (63:7) = log₃ 9 = 2

Вычислить:

1. Найдите значение выражения  .

5. Найдите значение выражения  .

6. Найдите значение выражения  .

7. Найдите значение выражения  .

Алгебра и начала математического анализа

Свойства и формулы логарифмов (часть 2)

6 . Если основание или аргумент возведены в степень, то их можно удобно выносить перед логарифмом:

Из этих двух формул следует:

Н апример: log₂³ 4⁹ = 9:3 ∙ log₂ 4 = 3 ∙ 2 = 6

7. Если нам неудобно основание логарифма, то его можно изменить:

Например: log₂₅ 125 = log₅ 125:log₅ 25 = 3:2 = 1,5

И з этой формулы следует, что мы можем поменять местами основание и аргумент вот так:

Например: log₁₆ 4 = 1: log₄ 16 = 1:2 = 0,5

Как решать логарифмы

Пример 1

log₃ 81

Вспомните, что 81 — это 9². А 9 — это 3². Таким образом:

log₃ 81 = log₃ 9² = log₃ 3²⁺² = log₃ 3⁴

Теперь логарифм не представляет для нас никаких сложностей. Воспользуемся свойством степени и вынесём четвёрку.

log₃ 3⁴ = 4 ⋅ log₃ 3 = 4 ⋅ 1 =4

Ответ: 4.

Пример 2

lg 2 ⋅ lb 10

Переведём сокращённые записи в полный вид:

lg 2 ⋅ lb 10 = log₁₀ 2 ⋅ log₂ 10

Приведём оба логарифма к одному основанию.

log₁₀ 2 ⋅ log₂ 10 = 1/log₂ 10 ⋅log₂ 10 = log₂ 10/log₂ 10 = 1

Ответ: 1.

Пример 3

log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3

Воспользуемся свойством суммы.

log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 = log₂₁₆ 2 ⋅ 3 = log₂₁₆ 6

Представим 216 в виде степени числа 6 и вынесем с помощью свойства степени.

log₂₁₆ 6 = log₆³ 6 = 1/3 ⋅ log₆ 6 = 1/3 ⋅ 1 = 1/3

Ответ: 1/3.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите значение выражения  .

2. Найдите значение выражения  .

3. Найдите значение выражения  .

4. Найдите значение выражения  .

6. Найдите значение выражения  .

8. Найдите значение выражения  .

9. Найдите значение выражения  .

10. Найдите значение выражения  .

11. Найдите значение выражения  .

12. Найдите значение выражения  .

13. Найдите значение выражения  .

14. Найдите значение выражения .

15. Найдите значение выражения  .

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите значение выражения