Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль

Подготовила обучающаяся 10 класса Гончарова Юлия

История

Первым, кто описал ее как механическую кривую, в отличие от кривых алгебраических, был Декарт, который в 1638 г. написал монаху Мерсенну о результатах своих исследований.

Декарт искал возрастающую кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке всегда один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он также показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль. Расстояние между витками растет с увеличением угла, т. е. радиус-вектор увеличивается экспоненциального с увеличением угла поворота. Так что третье название этой кривой – геометрическая спираль

Определение логарифмической спирали

Логарифмическая спираль -  кривая, которая пересекает все лучи, выходящие из одной точки О, под одним и тем же углом.

Уравнение кривой в полярных координатах

где коэффициенты.

Расстояние между витками растет с увеличением угла .

Построение логарифмической спирали

Логарифмическую спираль можно построить с помощью так называемого «золотого прямоугольника», т.е. такого, у которого отношение сторон равно золотому сечению:

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник, но меньших размеров. Если продолжить этот процесс далее, а затем соединить плавной кривой вершины квадратов, то получим логарифмическую спираль. Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь.

Основные свойства логарифмической спирали

1. Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра .

2. Параметр m определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда =0 спираль вырождается в окружность радиуса . Наоборот, когда стремится к бесконечности ( спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали

3. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.

4. Если угол возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то возрастает (убывает) в геометрической.

5. Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду r=, где -- новый параметр.

6. Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала до этой точки

Логарифмическая спираль в природе

Логарифмическая спираль  - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Царство животных предоставляет нам примеры спиралей раковин, улиток и моллюсков.

Все эти формы указывают на природное явление: процесс накручивания связан с процессом роста. В самом деле, раковина улитки - это не больше, не меньше, чем конус, накрученный на себя. Если мы внимательно посмотрим на рост раковин и рогов, то заметим еще одно любопытное свойство: рост происходит только на одном конце. И это свойство сохраняет форму полностью уникальную среди кривых в математике, форму логарифмической, или равноугольной спирали.

Галактики, штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей.

Паук плетет паутину спиралеобразно.

Логарифмическая спираль в технике

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиусы - векторы под одним и тем же углом. Так, например, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания, т. е. угол θ между лезвием ножа и направлением скорости его вращения, остается равным   и, следовательно, неизменным в силу постоянства угла μ. В зависимости от обрабатываемого материала требуется тот или иной угол резания, что обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали. На рис. представлен нож соломорезки.

Спасибо за внимание !