Логарифмический лес

Логарифмический лес

«Тропами«Логалеса» мы пойдем

Метод рационализации и ты, мой друг,

Вдвоем!»

Из мвтериалов проекта «Логарифмический лес».

Мудрость и умение излагать свои мысли отличают одного преподавателя от другого. У одного учителя дети понимают учебный материал на уроке и становятся успешными учениками, у другого нет, и потом стараются не вспоминать его по жизни.

В чем педагогическая мудрость? Я думаю, в ясности объяснений.

Как прийти к ней? Это секреты педагогического мастерства.

В этой статье я хочу поделиться с Вами с некоторыми из них.

Во-первых, я нашла свой золотой ключик в преподавании , а именно, мне удалось совместить несовместимое: математику и творчество. Ученикам нравится через призму изобразительного искусства изучать алгебру и геометрию! Это красиво и неповторимо! Благодарю судьбу за то, что познакомила меня и сдружила на долгие годы с кандидатом искусствоведческих наук, Федотовой Мариной Сергеевной, автором уникальной методики преподавания изобразительного искусства международного уровня. Она была инициатором исследования математики и изобразительного искусства и моим профессиональным помощником.

Во-вторых, поняла для себя, что не надо уставать искать способы подачи математического материала на языке понятном каждому ученику! «Простым языком о сложных вещах».

Хочу поделиться с Вами своими «ключиками» по материалу алгебры и началам математического анализа этого учебного года. Я назвала их «алгебраической фантазией»!

В начале учебного года мы с коллегами - математиками ГКОУ «Школы «Технологии обучения» посетили мастер- класс Попова Максима Александровича, старшего преподавателя кафедры высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М. Губкина. Он проводился в рамках проекта «Университетская среда для учителей». при поддержке Департамента г. Москвы.

Сложные темы ЕГЭ профильного уровня по математике преподаватель изложил очень доступно. Творческое вдохновение и простая форма изложения послужили созданию учебного проекта «Логарифмический лес».

Почему «логарифмический»? Потому что тема мастер –класса была «метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием».

Почему «лес»? Потому что за сложными логарифмическими неравенствами пошли и показательные, и разного рода смешанные неравенства. Каждый пример не похож на предыдущий, но зная изложение метода Поповым М.А. позволяет выйти по логарифмической тропе к правильному ответу.

Метод рационализации существует не один десяток лет, много преподавателей излагают его, но мне оказался самым ясным этот. Можно сказать, что Попов М.А. как и Ривнн А.Г., известный русский и советский педагог – новатор, заставил прочитать свой материал и рассказать своим ученикам!

Как же создавался дальше наш проект? В чем его простота и уникальность? Можно ли прочитав книжку«Логарифмический лес» , рассказать ее другим? Ответ найдите сами.

Обобщение темы в цепочке «определение степени, ее свойства» - «определение логарифма» - «свойства логарифма» - «метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием»навел моих учеников на создание художественных живописных образов.

Первыми появились «еж», «снеговик», «логарифмическая елка», «дерево неравенств». Еж возник в ассоциации определения степени, ее свойств. Снеговик – в определении логарифма. Елка – в свойствах логарифмов. Дерево неравенств – в решении логарифмических неравенств.

Школа наша обучает детей, находящихся на длительном лечении в больницах г.Москвы. Одни дети уезжали, другие приезжали, и так происходили новые вливания в наш труд. Работа не прекращалась. И вот в один из осенних деньков моя внучка нарисовала работу «Осень», которую разместили на выставке в садике, я поделилась радостью со своими учениками! Образ осенних берез мы решили разместить на обложке нашего проекта, а название «лес» окончательно было присвоено ему! Взбодрившись от такой находки, я попросила их пролистать работы Куинджи А.И., выставка работ которого проходила в Москве. И нас опять ждала находка: его работа «Березовая роща».

С каждым новым открытием темп работы увеличивался, ученики мои усердно отрабатывали алгоритм решения таких неравенств методом рационализации, им это нравилось, они все понимали!

Далее кто-то из учеников предложил, что надо еще поискать работы художников, связанных с лесом, кто-то сказал, что можно зимний пейзаж найти. Выбрали вместе «Иней» Грабаря И.

Надо сказать, что школьники младших возрастов заразились нашими идеями, и тоже стали активно предлагать свои идеи по созданию выдуманного леса. Именно они и предложили нам поселить в этот лес сову! Девочка Александра даже предложила сделать из бумаги свою авторскую сову, которую она придумала, кода находилась дома. Сейчас же нашлись и ножницы, и клей – работа закипела. Александра провела мастер-класс по изготовлению совы, и, думаю, выполненную работу она еще не раз вспомнит дома, выписавшись из больницы. Идея этой девочки и легла в основу проекта, и нам то уж точно запомнится надолго, поскольку этот художественный образ оказался ключевым. Мудрые старшеклассники решили внести сову в наш проект, и заключить в нее смысл метода рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием.

А именно: 1)представить неравенство в виде разности логарифмов с одним и тем же основанием; 2)составить систему, состоящую из «мантры» и ОДЗ исходного неравенства. «Мантра» –это произведение , состоящее из двух множителей, первый из которого «основание минус 1», а второй - «разность внутренностей».

Очередные поиски привели нас на впечатляющие математические факты. Мы узнали, что основоположником открытия логарифма явился шотландский Джон Непер. Из истории выяснилось, что он любил заниматься астрономией, вычислял степени и записывал их в таблицы. Именно таким образом у нас родилась работа «Д.Непер. 1614 г.». Также ученый установил, что при записи логарифмов с одинаковым основанием показатели степеней образуют арифметическую прогрессию, а сами значения степеней – геометрическую прогрессию. Мои художники стремительно увлеклись нахождением логарифмов с одинаковым основанием. Это оказалось под силу уже девятиклассникам! Проект перевалил за первую половину учебного года. И так, наверное, и продолжался , если бы не очередная находка проекта – «а не зарисовать ли нам эти прогрессии в тропу, да еще и логарифмическую?. Так появилась «Логарифмическая тропа», написанная весеннее – летними мотивами.

Художественные образы рождались и книжка-раскладушка все толстела. Новый год мы дружно встречали под нашей логарифмической елкой с огоньками! Читали стихи, которые так складно легли на наш проект! Записали ролик!

По окончании работы пришла мысль вставить задания для самостоятельной работы на каждом этапе нашей смысловой цепочки, а такое необычное для математики название «мантры» заложить в работу одной из учениц «Времена года», включить картину в проект, собрать все в книжку. А электронный вариант получившегося дидактического пособия по теме «Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием» разослать всем участникам проекта «Логарифмический лес»!

Но это еще не все! Наш проект понравился преподавателям школы, и мы успешно представили ее на «Фестивале школьных проектов». Научным итогом представления проекта стало - создание интеллектуальной карты «Логарифмический лес», которую уже нарисовали на плоском листе бумаги . Здесь тоже были выдержаны краски всех четырех времен года с основными художественными образами – «еж», «снеговик», «елка», «логарифмическая тропа», «сова». Выдержана здесь и смысловая математическая цепочка «определение степени, ее свойства» - «определение логарифма» - «свойства логарифма» - «метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием».

Можно было бы и закончить историю о «Логарифмическом лесе», но она теперь продолжается у меня дома! Живет рядом со мной. Моей дочери на день рождения подружка подарила настоящего ежа, которого мы назвали Огоньком. А я думаю, что это благодарные ученики принесли мне его из нашего выдуманного леса!

Предлагаю Вашему вниманию материалы проекта в тезисах.

Задачи проекта : Исследовать логарифмы, их свойства в новых реальных ситуациях и на основе художественных образов разобрать решение из № 15 ЕГЭ по математике профильного уровня логарифмических неравенств с переменным основанием методом рационализации.

Проект состоит из трёх этапов:

I этап – подготовительный

Здесь учащиеся собирают и изучают материалы по темам: «Лес в изобразительном искусстве», «Лес в поэзии», «Логарифм и его свойства», «История возникновения логарифмов», «Решение логарифмических неравенств», «Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием» - материалы мастер- класса Попова М. А., старшего преподавателя кафедры высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М. Губкина, который проводился в рамках проекта «Университетская среда для учителей» при поддержке Департамента г. Москвы.

II этап – практический

Создание книжки «Логарифмический лес» в бумажном варианте.

Создание книжки «Логарифмический лес» в электронном варианте.

III этап – заключительный

Создание интеллектуальной карты «Логарифмический лес» как краткое описание продукта проекта.

Создание роликов по проекту в сопровождении музыки выдающегося П. И. Чайковского «Времена года. Декабрь. Святки».

I этап. Подготовительный.

Пробираясь сквозь «лесные дебри» логарифмов, мы:

изучили их, ориентируясь на художественные образы, которые создали известные художники и сами дети;

увидели красоту леса известных художников Куинджи А., Грабаря И., современного семейного дуэта художницы Емельяновой Е. А., юных старшеклассниц Мироновой М. и Костровой А., используя материалы предыдущих проектов « Геометрия в изобразительном искусстве», «Логарифмическая елка»;

изучили досконально материалы мастер-класса «Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием» Попова Максима Александровича, старшего преподавателя кафедры высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ) им. И. М. Губкина, который проводился в рамках проекта «Университетская среда для учителей» при поддержке Департамента г. Москвы.

услышали всё это в стихотворении «Логарифмический лес»:

Сопоставил два числа

Джон Непер

Уж неспроста!

Квадраты, кубы вычислял…

Шотландский логарифм изобретал!

Что за слово логарифм?

Разберемся в этом.

Это вам не сказ, не миф.

Точной математики изобретение:

«Лого»-это вот число,

А «рифм» – это отношение.

Вместе шагают

Два верных числа:

«х»-ы и «в»-шки,

В основании «а».

«Х»-арифметик, а «в»-геометрик

Прогрессий чудесных

«Лесных» два числа!

Они друг другу помогают

Задачи трудные решают.

Зимний лес,

Осенний лес…

Много разных там чудес.

Вот и математика

Нас созывает

«Логарифмический лес»

Нам открывает!

Тропами«Логалеса» мы пойдем

Метод рационализации и ты, мой друг,

Вдвоем!

почувствовали прекрасную музыку П.И. Чайковского «Времена года. Святки. Декабрь» при создании роликов.

Таким образом, появилось название проекта, наметились его содержание и структура в интеграции учебных дисциплин - алгебра и начала математического анализа, геометрия и изобразительное искусство, русский язык и литература, музыка, информатика.

II этап. Практический. Создание книжки «Логарифмический лес».

Весь математический материал разложили в последовательности от простого к сложному; от теории к практике с элементами для самостоятельного решения. Весь художественно - литературный материал решили представить лесными образами четырех времён года. А именно:

• летний художественный образ «Ежа» помог нам дать определение

степени и переход к логарифму в виде числового выражения;

• зимний художественный образ « Снеговика» позволил этот переход степени к логарифму записать и запомнить в буквенном виде;

• пушистая «Елка» нашего « Логарифмического леса» - с логарифмическими свойствами.

• четвертый художественный образ «Лукошко» - задания для самостоятельной работы по определению и свойствам логарифма;

• весенний мотив проекта представляет «Логарифмическая тропа» с основанием 2. Она позволяет приоткрыть историю возникновения логарифма Джоном Непером в 1614 году. Шотландский математик установил закономерность арифметической и геометрической прогрессий при записи логарифмов с одинаковым основанием. Каждый учащийся на «Лесной поляне» может выполнить задание на составление своей логарифмической тропы с основанием 3;

• осенний художественный образ и ключевой в нашем проекте – сова, сидящая на ветке дуба. Выдуманный «логарифмический лес» с этим образом – это решение примеров 1-8. Примеры 1-5 с решением на рассмотрение метода рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием, а именно примеры 1-4 из диагностических работ, пример 5 из ЕГЭ -2016. Примеры 6-8 с решением на рассмотрение метода рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств с переменным основанием, а именно пример 6 – из ЕГЭ - 2016, примеры 7-8 из ДВИ МГУ. Каждый пример разобран по одному и тому же алгоритму: 1) Представь неравенство в виде разности логарифмов с одинаковым основанием; 2) Составь систему, состоящую из «мантры» и ОДЗ исходного неравенства. «Мантра» –это произведение , состоящее из двух множителей, первый из которого «основание минус 1», а второй - «разность внутренностей». Образ мудрой совы «Логарифмического леса» появляется именно на той ветке дуба, где нужно составить систему!

III этап. Заключительный. Результаты проекта.

• создание дидактического пособия по теме «Метод рационализации при

решении логарифмических неравенств с переменным основанием» в бумажном и электронном вариантах;

• создание интеллектуальной карты «Логарифмический лес».

Карта позволит «математически бегло пробежаться» по темам «Логарифм, его определение и свойства», «Решение логарифмических неравенств с переменным основанием методом рационализации» и через художественные образы: ёж, снеговик, елка, сова разложить учебный материал «по полочкам».

К карте прикреплены фотографии – карточки из книжки «Логарифмический лес».Фото ежа с центральным примером логарифма 32 по основанию 2, фото со снеговиком с определением логарифма в буквенном виде, фото ёлки со свойствами логарифмов, лукошка – с логарифмическими примерами, несколько фото с подробным решением примеров логарифмических неравенств с переменным основанием методом рационализации. И конечно, главный герой проекта - сова сидит на центральном месте – ветке дуба. Она напоминает каждому алгоритм решения: 1) Представь неравенство в виде разности логарифмов с одинаковым основанием; 2) Составь систему, состоящую из «мантры» и ОДЗ исходного неравенства. «Мантра» –это произведение , состоящее из двух множителей, первый из которого «основание минус 1», а второй - «разность внутренностей».

Просмотрев карту перед сдачей ЕГЭ профильного уровня или при обобщении темы «Логарифмы», учащиеся через простые художественные образы четырех времен года смогут с легкостью воспроизвести эту сложную тему.

Выводы: У кого есть цель и характер победителя – материалы этого проекта для вас! Продвигайте науку, стройте мосты и заводы, занимайтесь малым бизнесом и берегите лес! Оглянитесь вокруг, и вы увидите как прекрасен мир во всем многообразии учебных дисциплин - алгебра и начала математического анализа, геометрия и изобразительное искусство, русский язык и литература, музыка, информатика.

Там, где есть математика, там всегда найдётся место для творческого погружения в мир «алгебраических и геометрических фантазий» в обучении!

Там, где есть сложный учебный материал, пусть каждому ученику и учителю встретится тот, который объяснит красиво и просто!