Логарифмы и их свойства.

Логарифмы

и их свойства

Презентация к уроку математики по теме «Логарифмы»

для учащихся 10 классов

1

Логарифмы и их свойства

Возведение в степень имеет два обратных действия. Если

а х = b ,

(1)

то отыскание a есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b – другое,

Логарифмирование.

Для чего были придуманы логарифмы ?

Конечно, для ускорения и упрощения вычислений.

2

Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорил о своих побуждениях:

Непер

«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».

Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретением десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера:

«Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление».

3

Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию, чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал:

«Милорд, я предпринял это долгое путешествие только для того, чтобы видеть Вашу особу и узнать, с помощью какого инструмента разума и изобретательности Вы пришли впервые к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а именно – логарифмах; но, милорд, после того, как Вы нашли их, я удивляюсь, почему никто не нашел их раньше, настолько легкими они кажутся после того, как о них узнаёшь».

Великий математик говорил об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.

0, а ≠1). Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так: Log a b = x (читается: «логарифм b по основанию a »). Например, log 5 25 = 2 , так как 5 2 = 25. Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1 /16 . Log 1/3 27 = - 3, так как (1 /3 ) – 3 = 27. Дальше Log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9. " width="640"

4

Определение.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтобы получить b (где а 0, а ≠1).

Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b

Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так:

Log a b = x

(читается: «логарифм b по основанию a »).

Например,

log 5 25 = 2 , так как 5 2 = 25.

Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1 /16 .

Log 1/3 27 = - 3, так как (1 /3 ) – 3 = 27.

Дальше

Log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9.

5

Вычислить:

Log 2 16; log 2 64; log 2 2;

Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

Log 3 27; log 3 81; log 3 3;

Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

Log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0/5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Дальше

6

Сравните со своими ответами!

Таблица ответов.

4

6

0

1

-1

3

4

-3

0

5

-2

1

-2

-1

1

3

0

-1

Log 2 16; log 2 64; log 2 2;

Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

Log 3 27; log 3 81; log 3 3;

Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

Log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Если Вы всё выполнили верно, перейдите к слайду 8. Если выполнили с ошибками – перейдите к слайду 7.

К слайду 8

К слайду 6

7

Правильное решение примеров 1 столбца:

Log 2 16 = 4, так как 2 4 = 16 .

Log 2 1 = 0, так как 2 0 = 1.

Log 3 27 = 3, так как 3 3 = 27.

Log ½ 1/32 = 5, так как (1 /2) 5 = 1/32.

Log 0,5 (1 / 2) = 1, так как (0,5) 1 = (1 / 2) 1 = ½.

Дальше

Назад к ответам

0, а 0, а≠1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством. Например: 2 log 2 6 = 6 ; 3 – 2 log 3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1 /25 . Дальше " width="640"

8

Определение логарифма можно записать так:

a log a b = b

Это равенство справедливо при b 0, а 0, а≠1. Его обычно называют

основным логарифмическим тождеством.

Например: 2 log 2 6 = 6 ; 3 – 2 log 3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1 /25 .

Дальше

9

Свойства логарифмов.

Log a 1 = 0; log a a = 1; log a (1/a) = - 1; log a a m = m ;

Log a m a = 1/m .

ОСНОВНЫЕ

СООТНОШЕНИЯ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

СООТНОШЕНИЯ

Логарифм произведения:

Log c (ab) = log c a + log c b .

Логарифм частного:

Log c (a/b) = log c a – log c b.

Логарифм степени:

Log c a k = k log c a.

Переход к новому основанию:

Log b a = log c a / log c b.

Log a b = 1/ log b a,

Log a m b n = n/m (log a b).

Дальше

10

Логарифмы в деятельности человека

в астрономии

электротехнике

животноводстве

в музыке

в экономике

Дальше

в технике

11

и в природе

паутина

семечки подсолнуха

галактика

рога козла

раковина

Дальше

12

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.»

Я. А. КОМЕНСКИЙ.

Список используемых источников

Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2012

www.yandex.ru

www.allday.ru