Логические задачи

Районная научно-практическая конференция школьников

по математике

Логические задачи

Выполнила: Сорокина Екатерина Ивановна ученица 7 класса ГУО “Кочищанская средняя школа Ельского района”

д. Кочищи

Руководитель: Журова Любовь Николаевна

учитель математики и

информатики

ГУО “Кочищанская средняя школа Ельского района”

Кочищи 2011/2012 у.г.

Содержание

Введение 3

1. Методы решений логических задач 5

2. Метод первый: метод рассуждений 6

3. Метод второй: метод таблиц 8

4. Метод третий: метод блок-схем 16

Заключение 18

Литература 19

Введение

На уроках математики, факультативных и стимулирующих занятиях нам все время приходится решать самые различные задачи. И очень часто некоторые из этих задач заставляют нас по настоящему “поломать голову”, так как в коротком и простом условии прячется очень много работы для ума. И совсем здесь не нужно идти на поводу у первой пришедшей в голову мысли, потому что она очень часто бывает неправильной. Ну, а чтобы действительно получить вкус от красиво найденного решения задачи, другой раз нужно просто не полениться и капнуть немного глубже, чем может показаться на первый взгляд.

Но бывает так, что может возникнуть и обратная ситуация – ученик уже не просто думает, а почти уверен, что решаемая им задача не имеет решения. Он долго и бесспешно бьется над условием, пытаясь понять ее логику, но ему все время кажется, что в этой задаче не хватае условий. Вот для этого и придуманы задачи, тренирующие наш мозг. Но все время решая одну и ту же задачу бывает тяжело и очень долго. Поэтому, нужно на какое-то время отложить в сторону решение задачи и изменить свою деятельность, но только для того, чтобы потом абязательно снова к ней вернуться. А когда не получается, то возращаться снова и снова до тех пор, пока в одно чудесное утро будешь не просто спешить в школу, а мчаться туда на крыльях, для того, чтобы как можно быстрей поделиться радостью от полученного решения со своим учителем.

А чтобы реже возникали ситуации, когда ученик сомневается в выборе пути решения задачи, нам хотелось бы рассмотреть методы, используемые в математике при решении логических задач.

Поэтому, целью моей работы стало использование различных методов при решении логических задач.

Исходя из этого, мною были поставлены следующие задачи:

1. проанализировать следующие методы:

• метод рассуждений;

• метод таблиц;

• метод блок-схем;

1. выявить эффективность данных методов по решению логических задач;

2. показать использование методов в решении задач.

Областью моего исследования являются методы решения логических задач.

Предмет исследования – логические задачи.

Актуальность данной проблемы заключается в том, что изучение методов позволяет более правильно и точно решать не только логические задачи, но и, логически рассуждая, решать конкретные жизненные ситуации. Вся наша жизнь - это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато.

Методы исследования – изучение, сравнение, решение задач, работа с литературными источниками.

1. Методы решений логических задач

Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением!

Д.Пойа

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания.

Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики – нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего – половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.

Известно несколько различных способов решения логических задач:

• метод рассуждений;

• метод таблиц;

• метод блок-схем.

Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация "замаскирована", представлена неявно, и надо уметь её извлечь. Как известно, видение рождает мышление. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить в виде единой целой. 2. Метод первый: метод рассуждений

Способ рассуждений – самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Этим методом решены следующие задачи.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один из них ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Но это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это снова противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Из ложных утверждений следует, что Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей. Михаил не изучает ни арабский, ни китайский, то значит, что он изучает японский. Ну и остается, что Вадим изучает арабский.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Задача 2. Максим и его мать празднуют свой день рождения в один день. Сейчас мать старше сына в 11 раз. Но пройдет всего 6 лет, и она будет старше всего в 5 раз, а ещё через 10 – только в 3 раза. Когда с сегодняшнего дня пройдет 36 лет, мать будет старше сына в 2 раза. Сколько лет сегодня исполняется Максиму?

Решение. Первый способ: обозначим возраст Максима буквой х, а возраст его матери – у. Тогда формула, обозначающая возраст сегодняшнего дня будет выглядеть так: 11х = у.

Через 6 лет получим такую формулу: 5(х + 6) = у + 6

Через 16 лет: 3(х + 16) = у + 16

Через 36 лет: 2(х + 36) = у + 36

Решив любую пару уравнений, получим возраст сына Максима – 4 года. Следовательно, матери исполнилось 44 года.

Второй способ: можно решить задачу и логическим путем. Напишем 2 ряда чисел: в первом – предполагаемый возраст Максима, во втором – его матери.

  1   2   3   4   5   6

11 22 33 44 55 66

1 и 11 можно отбросить сразу, поскольку нереально, чтобы мать родила Максима в 10 лет.

Проверяем второй вариант. Поскольку через 6 лет Максиму исполнится 8, а его матери – 28, то условие, что мать в 5 раз старше, не выполняется: 8*5= 40, а не 28, как есть на самом деле. Таким образом, проверяем все пары пока не доходим до необходимой. Проверяем третий вариант. Поскольку через 6 лет Максиму станет 9 лет, а его матери – 39, то условие, что мать будет старше в 5 раз, не выполняется: 9*5 = 45, а не 39, как есть на самом деле. Ну и проверим четвертый вариант. Так как через 6 лет Максиму исполнится 10 лет, а его матери – 50, то второе условие выполняется 5*10= 50. И все остальные условия выполняются. То следует, что Максиму четыре года сейчас исполнилось.

Ответ: Максиму сегодня исполнилось 4 года.

3. Метод второй: метод таблиц

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Примеры решения задач табличным методом.

Задача 1. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Решение. Составив таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и туфель клоунов (буквой К обозначим красный, буквами З – зеленый и С – синий цвета). Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли Бама зеленые, а рубашка не является зеленой. Ставим знак + в клетку 2-й строки и 5-го столбца, и знак – в клетку 2-й строки и 2-го столбца. Следовательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными. Отметим все это в таблице 1.

Таблица 1

Цвет Клоун	Рубашки			Туфли
	К	З	С	К	З	С
Бим				+	–	–
Бам		–		–	+	–
Бом	–			–	–	+

Далее, туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком –. Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома – синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл. 1). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки – Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета.

Таблица 2

Цвет Клоун	Рубашки			Туфли
	К	З	С	К	З	С
Бим	+	–	–	+	–	–
Бам	–	–	+	–	+	–
Бом	–	+	–	–	–	+

Мы полностью заполнили таблицу, в которой однозначно устанавливаются цвета туфель и рубашек клоунов (таблица 2): Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Ответ: Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Задача 2. Все звери в зоопарке находятся не в своих клетках. Служителю необходимо как можно быстрее разместить животных по их клеткам. Какое наименьшее число «переселений» должен сделать служитель зоопарка? Учтите, что зверей нельзя помещать вдвоем в одну клетку, так как звери – хищники (таблица 3).

Таблица 3

Надпись на клетке	Лев	Олень	Волк	Крокодил	Леопард
Животное	Леопард	Крокодил	Олень	Лев	Волк
Вольера

Решение. Когда я показала маме эту задачу, то она не сомневаясь начала решать эту задачу таблицей и ее решение было такое (таблица 4):

Таблица 4

№ п.п.		Вольера	Леопард	Крокодил	Олень	Лев	Волк
1	Лев		Леопард	Крокодил	Олень		Волк
2				Крокодил	Олень	Леопард	Волк
3			Лев	Крокодил	Олень	Леопард	Волк
4	Олень		Лев	Крокодил		Леопард	Волк
5			Лев		Крокодил	Леопард	Волк
6			Лев	Олень	Крокодил	Леопард	Волк
7	Волк		Лев	Олень	Крокодил	Леопард
8			Лев	Олень		Леопард	Крокодил
9			Лев	Олень	Волк	Леопард	Крокодил
10	Леопард		Лев	Олень	Волк		Крокодил
11			Лев	Олень	Волк	Крокодил
12			Лев	Олень	Волк	Крокодил	Леопард

И видно из этой таблицы, что ее ответ был такой: за двенадцать «переселений» разместят зверей по клеткам. Но это не наименьшее число «переселений». Эту задачу можно решить таблицей (таблица 5).

Таблица 5

№ п.п.		Вольера	Леопард	Крокодил	Олень	Лев	Волк
1	Крокодил		Леопард		Олень	Лев	Волк
2	Крокодил		Леопард	Олень		Лев	Волк
3	Крокодил		Леопард	Олень	Волк	Лев
4	Крокодил			Олень	Волк	Лев	Леопард
5	Крокодил		Лев	Олень	Волк		Леопард
6			Лев	Олень	Волк	Крокодил	Леопард

Ответ: За шесть «переселений» служителю можно разместить зверей по своим клеткам.

Задача 3. «Леночка и разноцветные игрушки».

- Ой, какие красивые разноцветные шарики! А какие коробочки! Дедушка, ну, пожалуйста, подари их мне! – воскликнула Леночка, едва переступив порог дедушкиной комнаты.

- Посмотрим, заслуживаешь ли ты такого подарка, - ответил дедушка, и попросил Леночку на некоторое время выйти из комнаты. Но не прошло и минуты, как девочка услышала, что её уже зовут.

- Перед тобой пять коробочек: одна белая, одна чёрная, одна красная, одна синяя и одна зеленая, - сказал дедушка. – Шарики тех же цветов, что и коробочки, по два шарика каждого цвета: два белых, два чёрных, два красных, два синих и два зелёных. В каждую коробочку я положил по два шарика. Чтобы ты не думала, будто цвет шариков в коробочке совпадает с цветом самой коробочки, скажу сразу: шарики по коробочкам я разложил как пришлось. Если ты скажешь, какого цвета шарики лежат в каждой коробочке, то я подарю тебе все шарики вместе с коробочками.

- Но ведь это очень трудно, - печально вздохнула Леночка.

- Совсем не трудно, - утешил её дедушка. – К тому же я помогу тебе – вот послушай:

1) ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;

2) в красной коробочке нет синих шариков;

3) в коробочке нейтрального цвета лежат один красный и один зелёный шарик. (Тут Леночка, не выдержав, спросила, что такое нейтральный цвет. Дедушка объяснил, что так принято называть белый или чёрный цвет);

4) в чёрной коробочке лежат шарики холодных тонов (Леночка уже знала, что холодными называют зеленые и синие тона);

5) в одной коробочке лежат белый и один синий шарик;

6) в синей коробочке находится один черный шарик. Помогите Леночке решить дедушкину задачу!

Решение. Посмотрим четыре первых утверждений (таблица 6).

Таблица 6

Коробка Шарик	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Белый	-	-	-	-	-
Черный	-	-	-	-	+
Синий	-	-			-	-			-	-
Зеленый	-	+			-		-	-
Красный	+	-			-				-	-

Из утверждений 1, 2, 3 ,4 следует, что в белой коробочке лежат один зеленый и один красный шарики. Тогда в черной коробочке лежат либо два синих, либо синий и зеленый; но из утверждения 5 следует, что два синих шарика лежать в черной коробочке не могут. Один зеленый шарик лежит в белой коробочке, второй в черной, значит зеленых шариков нет в синей и красной коробочках (таблица 7).

Белый и синий шарики лежат вместе, но вместе они могут лежать только в зеленой коробочке. Следовательно, в зеленой коробочке нет черных и красных шариков (а так же белого и второго синего). Остались неположенными: красный, белый и черный шарики; красная коробочка пустая и синяя – с одним черным шариком.

Красный шарик может лежать только в синей коробочке, а значит белый и черный – в красной.

Таблица 7

Коробка Шарик	Белая		Черная		Синяя		Зеленая		Красная
Белый	–	–	–	–	–	–	+	–	+	–
Черный	–	–	–	–	+	–	–	–	–	+
Синий	–	–	+	–	–	–	–	+	–	–
Зеленый	–	+	–	+	–	–	–	–	–	–
Красный	+	–	–	–	–	+	–	–	–	–

Ответ: в белой коробочке находятся один красный и один зеленый шарики, в черной коробочке – один синий и один зеленый, в синей коробочке – один черный и один красный, в зеленой коробке – один белый и один синий, ну и в красной коробочке находится один белый и один черный.

Задача 4. Три сосуда, вместимостью 8, 5, 3 л. стоят на полке. Первый сосуд наполнен водой, а два других пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить один литр воды? Как отмерить 4 литра воды?

Решение. Сразу встает вопрос: с чего начать? Имеющиеся сосуды могут предложить два варианта: либо из восьмилитрового сосуда наполним пятилитровый, либо трехлитровый. Нужно учесть, что вода из этих трех сосудов никуда не выливается. Это сокращает число возможных ходов.

Первый способ:

Таблица 8

№ п.п.	8 л сосуд	5 л сосуд	3 л сосуд
0	8	0	0
1	3	5	0
2	3	2	3
3	6	2	0
4	6	0	2
5	1	5	2
6	1	4	3

В первом способе, мы начинаем вливать в 5-ти литровый сосуд. После первого шага у нас получается: в 8-ми литровом сосуде останется 3 литра, 5-ти литровый сосуд – полный, а 3-ёх литровый – пустой. На втором шаге мы из 5-ти литрового сосуда вливаем в 3-ёх литровый, и у нас получается: в 8-ми литровом сосуде так и осталось 3 литра воды, в 5-ти литровом – 2 литра, ну и в 3-ёх литровом сосуде будет 3 литра. На третьем шаге, мы из 3-ёх литрового сосуда выливаем в 8-ми литровый, и получается: в 8-ми литровом становится 6 литров воды, 5-ти литровом без изменений (2 литра), а 3-ёх литровый сосуд станет пустой. На четвертом шаге, мы переливаем из 5-ти литрового сосуда в 3-ёх литровый, и станет: 8-ми литровый сосуд останется без изменений (6 литров воды), 5-ти литровый станет пустой, а в 3-ёх литровом – 2 литра воды. На пятом шаге, мы из 8-ми литрового сосуда выливаем в 5-ти литровый, и получится: в 8-ми литровом останется 1 литр воды (первое ответ нашли), 5-ти литровый станет полный, 3-ёх литровый сосуд останется без изменений (2 литра воды). Ну и последний, шестой шаг, мы из 5-ти литрового сосуда переливаем в 3-ёх литровый и окончательно получится: 8-ми литровый сосуд остался без изменения (1 литр воды), в 5-ти литровом останется 4 литра, ну и 3-ёх литровый станет полный.

Ну и наши 1 и 4 литра будут налиты в 8-ми и 5-ти литровых сосудах соответственно.

Второй способ:

Таблица 9

№ п.п.	8 л сосуд	5 л сосуд	3 л сосуд
0	8	0	0
1	5	0	3
2	5	3	0
3	2	3	3
4	2	5	1
5	7	0	1
6	7	1	0
7	4	1	3

Во втором способе, мы начинаем вливать в 3-ёх литровый сосуд. После первого шага у нас получится: в 8-ми литровом сосуде останется 5 литров, 5-ти литровый сосуд будет по-прежнему пустой, а 3-ёх литровый – полный. На втором шаге, мы из 3-ёх литрового сосуда выливаем в 5-ти литровый и у нас получается: в 8-ми литровом сосуде так и осталось 5 литров воды, в 5-ти литровом – 3 литра, ну и 3-ёх литровый сосуд будет пустой. На третьем шаге мы из 8-ми литрового сосуда вливаем в 3-ёх литровый, и получится: в 8-ми литровом становится 2 литра воды, 5-ти литровом – без изменений (3 литра), а 3-ёх литровый сосуд станет полный. На четвертом шаге, мы переливаем из 3-ёх литрового сосуда в 5-ти литровый, и станет: 8-ми литровый сосуд останется без изменений (2 литра воды), 5-ти литровый станет полный, а в 3-ёх литровом – 1 литр воды (первый ответ). На пятом шаге, мы из 5-ти литрового сосуда выливаем в 8-ми литровый, и получится: в 8-ми литровом станет 7 литров воды, 5-ти литровый сосуд станет пустой, 3-ёх литровый сосуд останется без изменений – 1 литр воды. На шестом шаге, мы из 3-ёх литрового переливаем в 5-ти литровый сосуд и станет: 8-ми литровый без изменений – 7 литров, в 5-ти литровом станет 1 литр воды, ну и 3-ёх литровый останется пустой. Ну и последний, седьмой шаг, мы из 8-ми литрового сосуда вливаем в 3-ёх литровый и окончательно получится: в 8-ми литровом сосуде станет 4 литра воды, в 5-ти литровом останется без изменений 1 литр, ну и 3-ёх литровый станет полный.

Ну и наши 4 и 1 литра будут налиты в 8-ми и 5-ти литровых сосудах соответственно.

4. Метод третий: метод блок-схем

Задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Задача. Среди четырех монет одна фальшивая. Она отличается массой, однако неизвестно, легче она или тяжелее. Масса настоящей монеты 5 г. Как при помощи трех взвешиваний на чашечных весах обнаружить фальшивую монету, если имеется одна гиря массой 5 г? Можно ли при этих условиях опознать, легче фальшивая монета или тяжелее?

Решение. Пусть m1, m2, m3, m4 – массы четырех монет соответственно, Г - масса гири. Оформим решение в виде блок-схемы (рисунок 1). Приведенная схема задает программу, осуществление которой позволяет установить фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее. Взвешиваниям в блок-схеме соответствуют прямоугольники - операторы условного перехода. В схеме выделены первое и второе взвешивания горизонтальными линиями.

Рисунок

Прокомментируем для примера ход рассуждений, двигаясь лишь по одной ветви блок-схемы. Итак, первое взвешивание: пусть m1 + m2

Второе взвешивание: пусть m1+m3 m4+Г. Тогда фальшивая монета тяжелее (так как m4+Г - вес двух истинных монет) и это либо первая, либо третья монета. Но показания весов при первом взвешивании (m1+m2

Для решения этой задачи использовали метод блок-схем.

Заключение

Мы рассмотрели табличный метод, метод рассуждения, метод блок-схем для решения логических задач на примерах и пришли к выводу, что материал представленный в данной работе, безусловно, имеет для учеников большое значение, так как, другой раз, знания методов решения логических задач может помочь им не растерятся перед сложной, на первый взгляд, задачей. И, зная нутро решаемой задачи, намного легче найти нужный способ ее решения.

Вся наша жизнь - это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато.

Может, для большой науки значение данной работы не такое уж и значное, но я думаю, что не это самое главное. Куда более важно то, что исследуемая в моей работе тема – это только один из многих путей к бесконечному творчеству. Ну, а какой из этих путей выбрать самому человеку – решать должен только он сам…

Литература

1. Бабинская, И.Л. Задачи математических олимпиад – М.: Просвещение, 2001.

2. Галеева, Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность – М.: Феникс, 2006.

3. Дмитриева, А. В., Овчинников, А. Ф. Логические задачи. Методы решения: учебно-методическое пособие для реализации предпрофильной подготовки – Новосибирск: изд. НГПУ, 2005.

4. Дэпман , И.Г. За страницами учебника математики – М.: Мир, 1983.

5. Клименченко, Д. В. Задачи по математике для любознательных – М.: Просвещение, 1992.

6. Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка – М.: Просвещение, 1998.

7. Шарыгин, И. Ф., Шевкин, А. В. Задачи на смекалку – М.: Просвещение, 5-е изд., 2000.

20