Логические задачи на расстановку и делёж.

Захарова Елена Николаевна МОУ «СОШ №10»

Известно несколько различных способов решения логических задач:

Метод рассуждений;

Метод таблиц;

Метод графов;

Метод блок-схем;

Метод бильярда;

Метод кругов Эйлера.

Метод первый: Метод рассуждений

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Решение логических задач с помощью рассуждений

Для того чтобы решать логические задачи путем рассуждений необходимо:

• проанализировать условие задачи,
• разбить задачу на некоторые подпункты,
• путем строгих логических рассуждений прийти к ответу.

Метод второй: Метод таблиц

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи .

Табличный способ решения логических задач также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов.

Метод третий: метод графов

Один из способов решения задач типа «Кто есть кто?» - метод графов.

Граф – это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками (в этом случае граф называется ориентированным).

Для того чтобы решать логические задачи методом графов необходимо:

• проанализировать условие задачи,
• определить что известно,
• составить граф,
• проанализировав граф, найти все возможные решения или доказать что их нет.

Метод четвёртый: Метод блок-схем

Более систематический подход к решению задач заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи.

Метод пятый: Метод математического бильярда

Надеемся, что Вам известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий .

Метод шестой: Круги Эйлера.

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

• Метод описания предметов и их форм

По описанию можно представить себе предмет, место или событие, которое вам никогда не доводилось видеть. По приметам (признакам) преступника составляют его предполагаемый портрет – фоторобот.

По признакам (симптомам) болезни врач ставит диагноз, т.е. распознаёт болезнь.

Разгадывание многих загадок, шарад, решение кроссвордов основано на узнавании объекта по описанию.

• Метод поиска родственных задач

Если задача трудна, то необходимо попытаться найти и решить более простую «родственную» задачу. Это даёт ключ к решению исходной задачи.

• Метод «прочёсывания задач» (или «можно считать, что…»)

Можно решать задачу, как придётся, а можно предварительно преобразовать её к удобному для решения виду: переформулировать условие на более удобном языке (например, на языке чертежа), отбросить простые случаи, свести общий случай к частному.

• Метод «чётно-нечётно»

Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.

Метод «»Обратного хода»

• Метод «»Обратного хода»

Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.

Комбинированный метод

Метод, при котором задачу можно решить несколькими способами.

Задачи на расстановку и делёж требуют хорошего пространственного мышления, воображения, знаний основ геометрии и относятся к задачам смешанного типа.

Расставлять необходимо в таких задачах стулья вдоль стен, шашки и шахматы на доске ,людей, при этом надо учитывать ,что находясь в углу фигуры , предметы относятся сразу к двум сторонам .Делить же приходится яблоки, пироги, верёвку, наследство и другие предметы, не забывая, что при одном разрезе получается 2 части.

Задачи на расстановку.

Расположите 6 шашек в 3 ряда так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки.

Решение

Условия задачи легко выполнить, если расположить шашки в форме треугольника:

Расстановка стульев.

1.Как поставить 2 стула у стен комнаты, чтобы у каждой из четырёх её стен стояло по одному стулу?

2. Как поставить 3 стула у стен комнаты, чтобы у каждой из четырёх её стен стояло по одному стулу?

3. Как поставить 4 стула у стен комнаты, чтобы у каждой из четырёх её стен стояло по 2 стула?

4.Как расставить 7 стульев у четырёх стен комнаты, чтобы у каждой стены было их поровну?

Решение :

В квадратном зале для танцев поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.

Решение :

Расположите 9 фишек так, чтобы они образовали 10 рядов по 3 фишки в одном ряду.

Решение:

Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их так, как показано на рисунке, по 5 человек с каждой стороны:

Затем пришёл полковник и, недовольный размещением часовых, распорядился поставить солдат так, чтобы с каждой стороны их было по 6. Вслед за полковником пришёл генерал, рассердился на полковника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух последних случаях?

Решение:

Вот так расставили часовых полковник:

и генерал:

Небольшая межколхозная гидроэлектростанция построена комсомольцами. Ко дню ее пуска пионеры украшают электростанцию снаружи со всех четырех сторон гирляндами, лампочками и флажками.

Флажков было немного, всего 12. Пионеры сначала расставили их по 4 с каждой стороны, вот так:

Потом сообразили, что эти же 12 флажков они могут расставить по 5 и даже по 6 с каждой стороны. Второй проект им понравился больше, и они решили расставить по 5 флажков. Покажите на схеме, как пионеры расставили 12 флажков по 5 с каждой из четырех сторон и как они могли бы их расставить по 6 флажков.

Решение :

Задачи на делёж.

Для изготовления поделки на уроке труда разрезали шнурок в 7 местах. Сколько частей шнурка получилось?

Решение:

Для решения этого задания потребуются логическое и образное мышление .

Мы с Вами должны представить шнурок, и мысленно разрезать его один раз - получим 2 его части.

Если мы мысленно разрежем шнурок в 3 местах, то получим 4 части.

Отсюда можно сделать вывод, что количество частей шнурка будет всегда больше количества разрезаний на +1

Количество частей = Количество разрезов + 1

Отсюда: 7 + 1 = 8 (частей)

Ответ:

Если разрезать шнурок 7 раз, получим 8 частей.

.

Как разделить три одинаковых яблока поровну между 4 детьми, выполнив наименьшее число разрезов?

14

Решение:

По условию у нас есть 3 яблока. Для начала разделим 2 из них между 4 детьми, разрезав их пополам:

3 - 1 = 2(яб.)

2 : 4 = 1/2( яб.)

каждый ребёнок при этом действии получит по половине яблока.

для этого действия нам придётся выполнить всего 2 разреза ножом.

Осталось неподеленных яблок:

3 - 2 = 1(яб.)

Теперь последнее яблоко разрежем на 4-ре дольки, поделив между детишками:

1 : 4 = ¼ (яб.)

каждый ребёнок при этом действии получит по четвертинке яблока.

для этого действия нам придётся выполнить всего 2 разреза ножом.

Таким образом:

1/2 + 1/4 = ¾(яб.)

каждый ребёнок всего получит яблок: ¾(яб.).

Чтобы поделить яблоки нужно сделать всего лишь 4 разреза ножом.

Три купца должны поделить между собой 21 бочонок, из которых 7 бочонков полных кваса, 7 полных наполовину и 7 пустых. Спрашивается, как они могут поделиться так, чтобы каждый имел одинаковое количество кваса и одинаковое количество бочонков, причём переливать квас из бочонка в бочонок нельзя.

Решение:

Предполагается, конечно, что все бочонки — полные, полные наполовину и пустые — равны между собой. Ясно, что каждый должен получить по семь бочонков(21:3=7(б.)). Количество же кваса, которое должно прийтись на долю каждого купца, эквивалентно 7 наполовину полным бочонкам(7:2=3 ½(б.)). Получаем, что, не переливая кваса, можно поделить всё поровну так: Полные наполовину пустые бочонки

Первый купец 2 3 2

Второй купец 2 3 2

Третий купец 3 1 3

Вот ещё одно решение: Полные наполовину пустые бочонки

Первый купец 3 1 3

Второй купец 3 1 3

Третий купец 1 5 1

В Древнем Риме философы-законники любили задавать друг другу такую задачу. Вдова обязана оставшееся после мужа наследство в 3500 золотых разделить с ребенком, который должен родиться. Если это будет сын, то мать по римским законам получает половину сыновней доли. Если родится дочь, то мать получает двойную долю дочери. Но случилось так, что родились близнецы – сын и дочь. Как следует разделить наследство, чтобы были выполнены все требования закона?

Решение:

Пусть Х монет получит дочь, тогда мать должна получить 2Х монет, а сын 2*2Х монет.

Х+2Х+2*2Х=3500

7Х=3500

Х=3500:7

Х=500

500*2=1000(м) у матери.

500*2*2=2000(м) у сына.

Ответ. Вдова должна получить 1000 золотых, сын – 2000 золотых, дочь – 500 золотых. Тогда требования закона будут выполнены, потому что вдова получит вдвое меньше сына и вдвое больше дочери.

.

Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы oни после его смерти поделили принадлежащее ему стадо лошадей так, чтобы старший взял половину всех лошадей, средний - треть и младший - девятую часть всех лошадей. Старик умер и оставил 17 лошадей. Сыновья начали делить, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственной лошади и разделил все по завещанию. Как он сделал?

Приехал мудрец, добавил к 17 лошадям свою одну, получилось 18.

1)17+1=18(л) стало.

2)18:2=9(л) старшему.

3)18:3=6(л)среднему.

4)18:9=2(л) младшему.

Проверка:9+6+2=17(л)раздал и свою забрал себе.

Ответ:9л-старшему,6л-среднему,2л-младшему.

У Максима и Никиты вместе 240 фишек. Максим подарил Никите 40 фишек. У них стало фишек поровну. Сколько фишек было у каждого мальчика до этого?

РЕШЕНИЕ

У Максима и Никиты на двоих 240 фишек. 1)240:2=120(ф.)стало у каждого.

Максим подарил 40 фишек Никите, значит, у Никиты было на 40 фишек меньше . 2)120-40=80(ф.) было у Никиты.

Сколько у Максима было фишек, прежде чем он подарил Никите 40 фишек. 3)120+40=160(ф.) у Максима.

ОТВЕТ :

у Максима было 160 фишек, а у Никиты - 80.

3 курицы - несушки за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 6 кур за 9 дней при тех же условиях?

Решение:

Если 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца, то одна курица за 3 дня снесёт в 3 раза меньше:

3 : 3 = 1 (яйцо)

Если за 3 дня одна курица может снести 1 яичко, то за 9 дней она снесёт в 3 раза больше:

1 * (9 : 3) = 1 * 3 = 3 (яйца)

Если за 9 дней одна несушка приносит 3 яичка, то 6 куриц за 9 дней:

3 * 6 = 18 (яиц)

Проверка:

(3 : 3) * (9 : 3) * 6 = 1 * 3 * 6 = 18 (яиц)

Ответ :

6 куриц-несушек за 9 дней снесут 18 яичек

Список использованной литературы

1. Галеева Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность / Р. А. Галеева, Г. С. Курбанов, И. В. Мельченко – Изд. 2 – е – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 272 с.: ил. – (Большая перемена).

2. Дмитриева А. В., Овчинников А. Ф. Логические задачи. Методы решения: учебно-методическое пособие. Новосибирск: Изд. НГПУ, 2005. – 102 с.

3. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / Л. А. Залогова, М. А. Плаксин, С. В. Русаков и др. Под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера: Том. 2. – 2-е изд. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. – 278 с.: ил.

4. Клименченко Д. В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 1 – 6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 192 с.: ил.

5. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.

Фестиваль 1 сентября ( http://festival.1september.ru/articles/312793/ )

Способы решения логических задач ( http://wiki.iteach.ru/index.php/Способы_решения_логических_задач )

Загадка Эйнштейна ( http://fourty.on.ufanet.ru/zagadka.htm )

Сборник задач (http://ptil2006.narod.ru/math_calc.html)