Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы»

«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (для углубленного изучения)

«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (общеобразовательный)

Определения

1. Определение целого уравнения с одной переменной. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

+

1. Определение степени уравнения вида P(x)=0, где P(x) – многочлен стандартного вида. Степенью уравнения вида P(x)=0, где P(x) – многочлен стандартного вида, называется степень этого многочлена.

+

1. Определение степени произвольного целого уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называется степень равносильного ему уравнения указанного вида.

-

1. Определение возвратного уравнения. Возвратным уравнением называется уравнение вида a₀xⁿ+a₁x^n-1…+a_n-1x+a_n=0, где a₀≠0, в котором a_k=a_n-k, k=0, 1, 2,…, n.

-

1. Определение рационального уравнения. Рациональным уравнением называется уравнение, левая и правая части которого представляют собой рациональные выражения.

-

1. Определение дробно-рационального уравнения. Если обе части рационального уравнения или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое уравнение называется дробно-рациональным.

+

1. Определение рационального неравенства. Неравенство с одной переменной, обе части которого являются рациональными выражениями, называется рациональным неравенством.

-

1. Определение целого неравенства. Если в рациональном неравенстве левая и правые части – целые числа, то такое неравенство называется целым неравенством.

-

1. Определение рационального неравенства. Неравенство с одной переменной, обе части которого рациональные выражения, называется рациональным неравенством.

-

1. Определение дробно-рационального неравенства. Если в рациональном неравенстве обе части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое неравенство называется дробно-рациональным неравенством.

-

1. Определение уравнения с параметром.

(Понятие вводится, но определение не дается)

-

1. Определение «решить уравнение с параметром». Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество корней.

-

1. Определение равносильных уравнений. Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями.

+

1. Определение графика уравнения с двумя переменными. (Понятие вводится, но понятие не дается)

+

1. Определение «решение системы уравнений с двумя переменными». Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называют решением системы.

+

1. Определение «решения неравенства с двумя переменными». Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное неравенство.

+

1. Определение линейного неравенства с двумя переменными. Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ax+bycили ax+byc, где xи y–переменные, a, bи c– некоторые числа.

-

Теоремы

1. Теорема о корне многочлена

Если число a является корнем многочлена P(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1…+a_n-1x+a_n, где a₀≠0, то этот многочлен можно представить в виде произведения

(x-a)P₁(x), где P₁(x) – многочлен (n-1)-й степени.

+

1. Если уравнениеa₀xⁿ+a₁x^n-1…+a_n-1x+a_n=0, в котором все коэффициенты – целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

+

Задачный материал

1. Уравнения и неравенства с целыми числами

а) Решите целое уравнение (№ 189, 190, 197-202, 204, 207, 209)

б) Найдите нули функции целого уравнения. (№ 203)

в) Решите целое неравенство с одной переменной. (№ 237, 238, 239, 241, 255, 256, 259, 260, 261)

+

+

+

1. Решите дробно-рациональное

а) уравнение (№ 217-228)

б) неравенство с одной переменной

(№ 269-271, 275, 277, 278)

-

-

1. Решите графически

а) уравнение (№ 231, 232)

б) систему уравнений с двумя переменными (№ 439)

+

+

1. При каких значениях x имеет смысл выражение (№ 244, 248, 262, 272, 273, 279, 280, 321, 322, 323, 325)

+

1. Найдите область определения функции (№ 263)

+

1. Уравнения и неравенства с модулем

а) Решите уравнение с параметром под знаком модуля (№ 287-293, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302)

б) Решите неравенство с переменной под знаком модуля (№ 307, 309-320)

в) Решите неравенство с двумя переменными, содержащее знак модуля (№ 553-560, 562, 563)

-

-

1. Уравнения с параметром

а) Решите целое уравнение с параметром. (№ 329, 331-347, 350, 351, 352)

б) Решите дробно-рациональное уравнение с параметром. (№ 359, 360, 361, 365, 366, 367, 368)

-

-

1. Использование графика функции

а) Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции (№ 364)

б) Решите систему уравнений, использую график (№ 436)

в) Изобразите график неравенства, степень которого больше первой. (№ 520)

г) Изобразите график линейного неравенства с двумя переменными.

(№ 510, 512)

д) Постройте график уравнения (№ 422, 423, 424, 427, 429)

-

-

-

+

1. Определите степень уравнения (№ 419)

-

1. Докажите, что система уравнений не имеет решений (№438)

+

1. Текстовые задачи, используя уравнения с одной переменной и систему уравнений с двумя переменными (№ 467-504)

+

1. Определите, какое множество точек задается неравенством (№ 523)

+

1. Решите систему

а) неравенств с двумя переменными (№ 531, 532, 542, 543, 544, 545)

б) уравнений с двумя переменными. (№ 443, 444, 447, 448-452, 456-464)

в) Решите систему неравенств с одной переменной (№ 245, 246, 247, 276, 324, 325)

+

+

+

1. Задания на определение фигуры

а) Начертите фигуру, заданную системой неравенств (№ 534, 535, 536, 538, 541)

б) Определите, какая фигура является графиком уравнения, представленного ниже (№ 421)

-

+