Старт осенних олимпиад для учителей, учеников и дошкольников! Специальные наградные, результаты сразу, комфортное участие.

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 14.03.2025 13:35

Чуева Анастасия Владимировна

Учитель математики

30 лет

7 382

6 599

Подписчики

Подписки

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы»

Категория: Математика

28.02.2018 21:01

11 класс

«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (для углубленного изучения)	«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (общеобразовательный)
Определения
Определение показательного уравнения. Показательными уравнениями называют уравнения вида a^f⁽^x⁾=a^g⁽^x⁾, где a – положительное число отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.	+
Определение показательного неравенства. Показательным неравенством называют неравенства вида a^f⁽^x⁾>a^g⁽^x⁾, где a – положительное число отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.	+
Определение логарифмического уравнения. Логарифмическим уравнением называют уравнения вида log_af(x) = log_ag(x), где a – положительное число отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.	+

Просмотр содержимого документа
«Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы»»

11 класс

«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (для углубленного изучения)	«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (общеобразовательный)
Определения
Определение показательного уравнения. Показательными уравнениями называют уравнения вида a^f⁽^x⁾=a^g⁽^x⁾, где a – положительное число отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.	+
Определение показательного неравенства. Показательным неравенством называют неравенства вида a^f⁽^x⁾a^g⁽^x⁾, где a – положительное число отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.	+
Определение логарифмического уравнения. Логарифмическим уравнением называют уравнения вида log_af(x) = log_ag(x), где a – положительное число отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.	+
Определение логарифмического неравенства. Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида log_af(x) log_ag(x), где a – положительное число отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.	+
Определение равносильных уравнений. Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.	+
Определение следствия уравнения. Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x), то уравнение p(x)=h(x) называют следствием уравнения f(x)=g(x).	+
Определение области определения уравнения f(x)=g(x). Областью определения уравнения f(x)=g(x) или областью допустимых значений переменной называют множество тех значений переменной x, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).	+
Определение «решение неравенства». Решением неравенства f(x)g(x) называют всякое значение переменной x, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.	+
Определение равносильных неравенств. Два неравенства с одной переменной f(x)g(x) и p(x)h(x) называют равносильными, если их решения совпадают.	+
Определение следствия неравенства. Если общее решение неравенства f(x)g(x) содержится в общем решении неравенства p(x)h(x), то неравенство p(x)h(x) называют следствием неравенства f(x)g(x).	+
Определение частного решения системы неравенств и определение «решение системы неравенств». Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.	+
Определение «решение системы неравенств». Множество всех частных решений системы неравенств называют решением системы неравенств.	+
Определение совокупности неравенств (Понятие вводится, но определение не дается).	+
Определение частного решения совокупности неравенств (Понятие вводится, но определение не дается).
Определение «решение совокупности неравенств». Множество всех частных решений совокупности неравенств называют решением совокупности неравенств.	+
Определение иррационального уравнения. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.	+
Определение «решение уравнения с двумя переменными». Решением уравнения с двумя переменными p(x; y)=0 называют всякую пару чисел (x; y), которая обращает уравнение в верное числовое равенство.	+
Определение «решение неравенства с двумя переменными». Решением неравенства с двумя переменными p(x; y)0 называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет этому неравенству, т.е. обращает неравенство с переменными p(x; y)0 в верное числовое неравенство.	+
Определение «решить систему неравенств с двумя переменными». Решить систему неравенств с двумя переменными – это значит найти множество всех таких точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы, т.е. речь идет о пересечении решений неравенств системы.	+
Определение системы уравнений. (Понятие вводится, но определение не дается)	+
Определение равносильных систем уравнений. Две системы уравнений называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.	+
Определение уравнения с параметром. Если дано уравнение f(x;a)=0, которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то f(x; a)=0 называют уравнением с параметром a.	+
Теоремы
Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.	+
Показательное уравнение a^f⁽^x⁾=a^g⁽^x⁾ (где a0, a≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).	+
Показательное неравенство a^f⁽^x⁾a^g⁽^x⁾ равносильно неравенству того же смысла f(x)g(x), если a1.	+
Показательное неравенство a^f⁽^x⁾a^g⁽^x⁾ равносильно неравенству противоположного смысла f(x)g(x), если 0a1.	+
Пусть a0 и a≠1, X – решение системы уравнений . Тогда уравнение log_a f(x)=log_a g(x) равносильно на множестве X уравнению f(x)=g(x).	+
Пусть a1 и X – решение системы неравенств . Тогда неравенство log_a f(x)log_a g(x) равносильно на множестве X неравенству f(x)g(x).	+
Пусть 0aX – решение системы неравенств . Тогда неравенство log_a f(x)log_a g(x) равносильно на множестве X неравенству f(x)g(x).	+
Теорема о равносильности уравнений 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то поучается уравнение, равносильное данному.	+
Теорема о равносильности уравнений 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.	+
Теорема о равносильности уравнений 3. Показательное уравнение a^f⁽^x⁾=a^g⁽^x⁾ (где a0, a≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).	+
Теорема о равносильности уравнений 4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое: а) имеет смысл всюду в области определения ( в области допустимых значений) уравнения f(x)=g(x); б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x)=g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.	+
Теорема о равносильности уравнений 5. Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение (f(x))ⁿ=(g(x))ⁿ, равносильное данному в его ОДЗ.	+
Теорема о равносильности уравнений 6. Пусть a0 и a≠1, X – решение системы неравенств . Тогда уравнение log_a f(x)=log_a g(x) равносильно на множестве X уравнению f(x)=g(x).	+
Теорема о равносильности неравенств 1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то поучается неравенство, равносильное данному.	+
Теорема о равносильности неравенств 2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.	+
Теорема о равносильности неравенств 3. Показательное неравенство a^f⁽^x⁾a^g⁽^x⁾ равносильно: а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если a1; б) неравенству противоположного смысла f(x)g(x), если 0a	+
Теорема о равносильности неравенств 4. а) Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), положительное при всех x из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства f(x)g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство f(x)h(x)g(x)h(x), равносильное данному. б) Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех x из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства f(x)g(x), изменив при этом знак неравенства на противоположный ( на f(x)h(x)g(x)h(x), равносильное данному.	+
Теорема о равносильности неравенств 5. Если обе части неравенства f(x)g(x) неотрицательны в его ОДЗ, то после возведения его частей в одну и ту же четную степень n получится неравенство того же смысла (f(x))ⁿ(g(x))ⁿ, равносильное данному в его ОДЗ.	+
Теорема о равносильности неравенств 6. Пусть X – решение системы неравенств . Тогда логарифмическое неравенство log_a f(x)log_a g(x) равносильно на множестве X : а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если a1; б) неравенству противоположного смысла f(x)g(x), если 0a	+
Задачный материал
Решите уравнение (№ 12.1-12.38, 14.18-14.26, 17.1-17.39, 17.43, 27.3-27.24, 27.27-27.57, 29.1-29.3, 29.8-29.11, 29.13, 29.14, 29.16-29.18, 29.20, 29.22, 29.24, 29.25, 29.54-29.56, 30.1-30.5, 30.8-30.11, 30.13-30.37, 30.41-30.44, 32.3-32.5, 34.12, 34.26, 34.27, 34.31, 34.39)	+
Решите систему а) уравнений (№ 12.44-12.47, 17.40-17.42, 33.1-33.42) б) неравенств (№ 13.40, 13.41, 18.40-18.42, 28.5-28.10)	+ +
Решите неравенство (№ 13.1-13.19, 13.23-13.39, 13.42-13.45, 14.27-14.29, 15.47-15.50, 18.1-18.25, 18.29-18.39, 18.43-18.47, 28.13-28.30, 28.32-28.58, 29.26-29.28, 29.30-29.32, 29.34, 29.35, 29.37-29.39, 29.41, 29.42, 29.44-29.50, 29.52, 30.46-30.62)	+
Уравнения и неравенства с целыми числами а) Сколько целочисленных решений имеет неравенство (№ 13.20-13.22, 18.26, 18.28) б) Решите уравнение в целых числах (№ 32.21-32.23)	+ +
Сколько корней имеет уравнение (№ 27.25, 27.26)	+
Решите совокупность неравенств (№ 28.11, 28.12)	+
Найдите область определения функции (№ 28.31)	+
Докажите, что а) уравнение равносильно совокупности уравнений (№ 29.12, 29.15, 29.19, 29.21) б) неравенство равносильно неравенству (№ 29.23, 29.40, 29.43, 29.53, 30.40) в) уравнение равносильно системе (№ 29.15, 29.19, 29.21, 30.7, 30.12) г) неравенство равносильно системе (№ 30.45)	+ +
Постройте график уравнения (№ 32.1, 32.2, 32.6-32.30)	+
Постройте на координатной прямой множество точек (№ 32.24, 32.25, 32.29-32.27)	+
Найдите площадь фигуры (№ 32.28, 32.29)	+
Решите относительно x а) уравнение (№ 34.3, 34.4) б) неравенство (№ 34.5, 34.6)	+ +
При каких значениях параметра a а) система уравнений имеет решения (№ 34.41, 34.42) б) уравнение имеет n-ое число корней (№ 34.7, 34.9, 34.11, 34.28, , 34.29, 34.30, 34.32-34.35, 34.36, 34.39, 34.44) в) уравнение имеет корни (№ 12.39-12.43, 29.57, 34.1, 34.2, 34.7, 34.29, 34.33, 34.35, 34.37)	+ + +