Логические величины, операции, выражения.

Логические величины, операции, выражения. (10 класс)

.

К числу основных понятий логики относятся:

• Высказывание
• Логическая величина
• Логические операции
• Логические выражения
• Формулы

, будет зависеть от значений переменных и . " width="640"

Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу любого высказывания можно сказать , истинно оно или ложно.

Например: « На улице идёт дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент.

Истинность высказывания «Значение больше, чем » , записанного в форме неравенства: , будет зависеть от значений переменных и .

Какие из предложений являются высказываниями?

Определить их истинность.

• Какой длины эта лента?
• Прослушайте сообщение.
• Делайте утреннюю зарядку!
• Назовите устройство ввода информации.
• Кто отсутствует?
• Париж — столица Англии.
• Число 11 является простым.
• 4 + 5 = 10.
• Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
• Сложите числа 2 и 5.
• Некоторые медведи живут на севере.
• Все медведи - бурые.
• Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда?

Логические величины – это понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ( true, false).

Следовательно, истинность высказывания выражается через логические величины.

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина.

Например: если известно, что А,В,Х, Y и др. – переменные логические величины, то , значит они могут принимать значение только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится на простых с помощью логических операций(связок)

Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение)

Двухместная операция, записывается в виде

A & B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного операнда ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение)

Двухместная операция, записывается в виде

A V B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного операнда истинно.

Отрицание – унарная(одноместная) операция. Записывается в виде ¬ А или Ā.

Правила выполнения рассмотренных логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности логических операций(здесь И «истина», Л «ложь»)

А

В

И

Ā

И

И

A&B

Л

Л

Л

Л

И

Л

И

AvB

Л

Л

И

И

И

Л

И

Л

И

Л

Логическая формула – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций.

Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшенством операций. В порядке убывания старшенства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Например: (A&B)v( Ā&B)v(Ā&В)

Пример 1: Вычислить значение логической формулы

¬ X & Y v X & Z

Если логические переменные имеют следующие значения: Х=ЛОЖЬ,Y= ИСТИНА, Z=ИСТИНА.

Решение:

Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле:

Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:

• ¬ ЛОЖЬ = ИСТИНА;
• ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА;
• ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ;
• ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА.

1

2

3

4

¬ X & Y v X & Z

Z) и не (X = Y), если: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9,Y = -9, Z = 9. " width="640"

Пример 2

Определите значение логического выражения:

не (X Z) и не (X = Y),

если:

• 1) X = 3, Y = 5, Z = 2;
• 2) X = 0, Y = 1, Z = 19;
• 3) X = 5, Y = 0, Z = -8;
• 4) X = 9,Y = -9, Z = 9.

0. В алгебре такое выражение называется неравенством , а в логике – отношением. Отношение Х0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру: Знаки отношений: = ; ; ; = ; " width="640"

Логические функции на области числовых значений

Алгебра чисел пересекаются с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству.

Например, принадлежность значения числовой переменной Х множеству положительных чисел выражается через высказывание : «Х больше нуля». Символически это записывается так: Х 0. В алгебре такое выражение называется неравенством , а в логике – отношением.

Отношение Х0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру:

Знаки отношений: = ; ; ; = ;

0 –всегда ИСТИНА, 3≠6:2 –всегда ЛОЖЬ; так и переменной:aНапример:F(x)=(x0) или P(x,y)=(xАргументы определены на бесконечном множестве действительных чисел, а значение функции – на множестве, состоящем из двух логических величин: ИСТИНА, ЛОЖЬ. Логические величины от числовых аргументов называют ПРЕДИКАТ. Предикаты могут быть как простыми логическими функциями, не содержащими логических операций, так и сложными, содержащими логические операции. Отношение – можно рассматривать как логическую функцию от числовых аргументов. " width="640"

Отношение – это простое высказывание, а значит логическая величина.

Оно может быть как постоянной: 50 –всегда ИСТИНА, 3≠6:2 –всегда ЛОЖЬ;

так и переменной:a

Например:F(x)=(x0) или P(x,y)=(x

Аргументы определены на бесконечном множестве действительных чисел, а значение функции – на множестве, состоящем из двух логических величин: ИСТИНА, ЛОЖЬ.

Логические величины от числовых аргументов называют ПРЕДИКАТ.

Предикаты могут быть как простыми логическими функциями, не содержащими логических операций, так и сложными, содержащими логические операции.

Отношение – можно рассматривать как логическую функцию

от числовых аргументов.

Пример:

Записать предикат(логическую функцию) от двух вещественных аргументов Xи Y , который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат.

1

Решение:

Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции:

F(X,Y)=(X 2 +Y 2

Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным.

Y

X

0

-1

1

; = ; A T B T not A T F F F A and B T F F A or B T F T A xor B T F T F F T T T F F T F " width="640"

Логические выражения на Паскале

Логические константы: true (истина), false (ложь).

Логические переменные: описываются с типом Boolean.

Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними.

Знаки операций отношения

Логические операции:

not –отрицание;

and – логическое умножение(конъюнкция);

or –логическое сложение (дизъюнкция);

xor – исключение ИЛИ.

Таблица истинности для этих операций(T- true, F-false)

= ; ; ; = ;

A

T

B

T

not A

T

F

F

F

A and B

T

F

F

A or B

T

F

T

A xor B

T

F

T

F

F

T

T

T

F

F

T

F

Логическое выражение может состоять из логических констант и переменных, отношений, логических операций. Логическое выражение принимает значение true или false.

Например, логическая формула

На Паскале запишется в виде следующего логического выражения:

not X and Y or X and Z ,

где X,Y,Z –переменные Boolean.

Логические переменные располагаются в следующем порядке по убыванию старшенства(приоритета):

• not
• and
• or, xor.

Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1≤ Х ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение:

(1

¬ X & Y v X & Z

Логическая функция odd(x) – логическая функция определения четности аргумента, равна

true , если x- нечетное, и равна false, если x- четное;

trunc (x) – целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее x по модулю.

,=, " width="640"

-Для правильной записи сложного логического выражения( предиката) нужно учитывать относительные предикаты арифметических, логических операций и операций отношений, поскольку все они могут присутствовать в логическом выражении. По убыванию приоритета операции располагаются в следующем порядке:

• Арифметические операции:

• (минус унарный)

*, /

+, -

2. Логические операции:

not

and

or, xor

3. Операции отношения:

=, , ,=,

Видео к уроку

• https://yandex.ua/video/preview/?text=логический%20тип%20данных%20логические%20величины%20логические%20операции&path=wizard&parent-reqid=1644238148984878-5380412515532209119-man1-3319-man-l7-balancer-8080-BAL-3889&wiz_type=vital&filmId=12160112266762144019

=5) Or Not(7Чему равны значения переменных  a  и  b  после выполнения последовательности действий: a := 15 Div (16 Mod 7); b := 34 Mod a *5 — 29 Mod 5*2; a := 4 * 5 Div 3 Mod 2; b :=4 * 5 Div ( 3 Mod 2); a := a*b; b:= b*b. " width="640"

Домашнее задание!

Учить § 18

Задачи для самостоятельного решения

Определить значение логического выражения:(-3=5) Or Not(7

Чему равны значения переменных  a  и  b  после выполнения последовательности действий: a := 15 Div (16 Mod 7); b := 34 Mod a *5 — 29 Mod 5*2; a := 4 * 5 Div 3 Mod 2; b :=4 * 5 Div ( 3 Mod 2); a := a*b; b:= b*b.