Маселелерди симплекс методу боюнча чечүүгө аналитикалык киришүү - лк

Тема: Маселелерди симплекс методу боюнча чечүүдө аналитикалык киришүү

Сабактын максаты: Сызыктуу операторлор жөнүндө түшүнүшөт. Сызыктуу операторлордун үстүнөн жүргүзүлүүчү амалдарды билишет жана аткарышат. Сызыктуу оператордун өздүк маанилерин жана өздүк вектоорлорун билишет жана табышат.

Каралуучу тапшырмалар:

1. Сызыктуу операторлор

2. Сызыктуу операторлордун үстүнөн жүргүзүлүүчү амалдар

3. Сызыктуу оператордун өздүк маанилери жана өздүк векторлору

1. Сызыктуу операторлор

Алгебра курсунда негизги түшүнүктөрдүн бири болуп, сызыктуу оператор түшүнүгү эсептелет.

Биз өлчөмдүү жана өлчөмдүү сызыктуу мейкиндиктерин карайлы.

Аныктама. Эгерде мейкиндигиндеги ар бир векторуна мейкиндигинен алынган жалгыз гана векторун тиешелүү коюучу закон (эреже) берилсе, анда ден ге өтүүчү оператору (өзгөртүп түзүүсү, чагылтуусу) берилди деп айтабыз жана түрүндө белгилейбиз.

Аныктама. Эгерде мейкиндигинен алынган каалагандай векторлору жана каалагандай саны үчүн

барабардыктары орун алса, анда А оператору (чагылтуусу) сызыктуу деп аталат.

Биринчи шарт оператордун аддитивдүүлүк касиети, ал эми экинчи шарт оператордун бир тектүүлүк шарты деп аталат.

вектору векторунун элеси деп, ал эми вектору векторунун түспөлү деп аталат.

Эгерде жана мейкиндиктери дал келишсе, анда А оператору мейкиндигин өзүнө-өзүн чагылдырат.

мейкиндигинен базисин тандап алып, бул базис боюнча векторунун ажыралышын жазып алабыз.

операторунун сызыктуулугун эске алып, төмөнкүго ээ болобуз:

вектору да мейкиндигинен алынгандыктан, бул векторду да базиси боюнча ажыратууга болот, б.а.

Анда

Экинчиден, ошол эле базисинде координаталарына ээ болгон векторун төмөндөгүдөй жазууга болот:

Вектор берилген базис боюнча жалгыз гана ажыралмага ээ болгондуктан, (3) жана (4) түн оң жактары барабар болушат.

Анда

системасын алабыз.

матрицасы операторунун базисиндеги матрицасы деп, ал эми А матрицасынын рангы операторунун рангы деп аталат.

Демек, ар бир сызыктуу операторго берилген базисте кандайдыр бир матрица тиешелүү коюлат жана тескерисинче тартиптеги каалагандай матрицага өлчөмдүү мейкиндиктеги оператор тиешелүү коюлат.

вектору менен анын элесинин ортосундагы байланыш матрицалык түрдө

ееңдемеси менен жазылат. Мында А - сызыктуу оператордун матрицасы, ал эми жана дер жана векторллорунун координаталарынан турган мамыча-матрицалар.

Мисал-1. мейкиндигинин базисинде сызыктуу оператору

матрицасы түрүндө берилсин. Анда векторунун тапкыла.

Чыгаруу. (5) формуласы боюнча

Демек, болот.

2. Сызыктуу операторлордун үстүнөн жүргүзүлүүчу амалдар

Аныктама. жана сызыктуу операторлорунун суммасы деп, барабардыгынан аныкталуучу операторун айтабыз.

сызыктуу операторунун санына болгон көбөйтүндүсу деп,

барабардыгынан аныкталуучу оператору аталат.

жана сызыктуу операторлорунун көбөйтүндүсу деп,

барабардыгынан аныкталуучу оператору аталат.

, , операторлору да жогоруда белгиленген аддитивдүүлүк жана бир тектүүлүк шарттарын канааттандырат, б.а. сызыктуу операторлор болушат.

мейкиндигиндеги бардык векторлорду нөлдүк векторго айландыруучу нөлдүк операторун аныктап алалы.

Бир эле оператордун түрдүү базистердеги матрицаларынын ортосундагы көз карандылык төмөндөгүдөй теорема боюнча берилет.

Теорема. сызыктуу операторунун жана базистериндеги А жана А^* матрицалары

барабардыгы аркылуу байланышкан. Мында С - бул эски базистен жаңы базиске өтүү матрицасы.

Далилдөө. мейкиндигиндеги векторуна сызыктуу операторун колдонсок, анда вектору ушул эле мейкиндиктеги векторуна өтөт, б.а. эски базисте (5) барабардыгы, ал эми жаңы базисте

барабардыгы орун алат. С эски базистен жаңы базиске өтүү матрицасы болгондуктан

орун алат. (8) барабардыгынын сол жагынан А матрицасына көбөйтөбүз:

жана (5) формула боюнча келип чыгат. Бул барабардыктын сол жагын (9) менен алмаштырсак же . Алынган туюнтманы (7) формула менен салыштырсак (6) ээ болобуз.

Мисал-2. сызыктуу оператору базисинде матрицасы менен берилген. базисиндеги . операторунун матрицасын тапкыла.

Чыгаруу. Мында эски базистен жаңы базиске өтүү матрицасы болот. тескери матрицасын аныктайбыз. Анда (6) боюнча

.

Сызыктуу оператордун өздүк маанилери жана өздүк векторлору

Аныктама. Эгерде кандайдыр бир саны жашап,

барабардыгы орун алса, анда вектору сызыктуу операторунун өздүк вектору деп аталат. саны операторунун векторуна тийиштүү өздүк маааниси деп аталат.

Бул аныктамадан сызыктуу операторунун таасири астында өздүк вектор өзүнө коллиенардуу гана болгон векторго өтө тургандыгы, б.а. кандайдыр бир санга көбөйтүлө тургандыгы көрүнүп турат.

(10) барабардыгын матрицалык формада төмөнкүдөй жазса болот:

мында векторлорунун координаталарынан турган мамыча матрица.

(11) ни ачып жазалы:

Матрицалык түрдө жазсак көрүнүшүндө болот.

Алынган бир тектүү система ар дайым нөлдүк чыгарылышка ээ. Нөлдүк эмес чыгарылышы жашашы үчүн системанын аныктагычы 0 гө барабар болушу зарыл жана жетиштүү, б.а.

( аныктагычы га салыштырмалуу даражадагы көп мүчө болуп эсептелет. Бул көп мүчө операторунун же А матрицасынын мүнөздүк көп мүчөсү деп, ал эми (12) теңдемеси операторунун же А матрицасынын мүнөздүк теңдемеси деп аталат.

Мисал-3. матрицасы менен берилген сызыктуу операторунун өздүк маанисин жана өздүк векторлорун тапкыла.

Чыгаруу. Мүнөздүк теңдемени жазып алалалы.

жана лер операторунун өздүк маанилери маанисине тиешелүү келүүчү өздүк векторун аныктайлы. Ал үчүн төмөнкү теңдемени чыгарабыз:

векторуна ээ болобуз. нын каалагандай маанисинде вектору сызыктуу оператору үчүн өздүк вектор болот. Ушул сыяктуу эле үчүн табылат.

Текшерүүчү суроолор:

1. Качан оператору берилди деп айтабыз?

2. Сызыктуу оператор деген эмне?

3. Сызыктуу оператор үчүн кандай барабардыктар аткарылышы керек?

4. Вектордун элеси жана түспөлү деп эмне аталат?

5. Базис кандай жазылат?

6. Оператордун базистеги матрицасы деп эмнени айтабыз?

7. Оператордун рангы деген эмне?

8. Сызыктуу операторлордун суммасы деген эмне?

9. Сызыктуу операторлордун көбөйтүндүсү деген эмне?

10. Сызыктуу операторду санга көбөйтүү деп эмнени айтабыз?

11. Сызыктуу операторлордун үстүнөн жүргүзүлүүчү амалдар үчүн кандай касиеттер аткарылат?

2