Мастер-класс по теме: "Метод площадей"

Задача 1. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Решение. Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S_▲ABD = S_▲BCD

Задача 2. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S▲ABE = S, найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ?AD. Тогда из задачи 1 следует, что S▲KBE = S▲CBE, а S▲AKE = S▲ADE . Отсюда SABCD = 2S

Задача 3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD взяты произвольные точки M и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образо-вавшихся треугольников.

Решение. Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S▲KME = S▲KMB + S▲MEC, а S▲KNE = S▲AKN + S▲EDN

Отсюда S▲KMEN = S▲KMB + S▲MEC + S▲KNE + S▲EDN

Задача 4. Внутри параллело-грамма ABCD взята произволь-ная точка О. Зная площадь трех треугольников с вершиной в точке О, найдите площадь четвертого треугольника.

Решение. Пусть S▲ADO = S1, S▲ABO = S2, S▲BOC = S3. Произведем дополнительное построение: КЕ//АВ. Введем следующие обозначения: S▲EOD = a, S▲KCO = b, S▲BKO = c, S▲AEO = d. Тогда S2 = с +d , S▲DOC = a + b, S1 + S3 = a + b + c + d . Отсюда S▲DCO = S1 + S3 - S2

Задача 5. Каждая диагональ четырехугольника делит его на треугольники одинаковой площади. Докажите, что это параллелограмм.

Решение. Из условия следует, что верны равенства: S₁ + S₂ = S₃ + S₄ и S₁ + S₄ = S₃ + S₂ . Откуда получим, что S₁ = S₃, а S₂ = S₄. Отметим, что S₂S₁=AOOC, S₄S₃=AOOC. Кроме этого, соответствующие высоты треугольников BOC, COD и AOB, AOD равны, соответственно, площади относятся как длины ос-нований. Из того, что S₁ = S₃ и S₂=S₄, следует, что AOOC=AOOC. Следовательно, AO = OC . Аналогично можно доказать, что BO = OD. Можно сделать вывод, что диагонали четырехугольника точкой пересече-ния делятся пополам, а это значит, что ABCD параллелограмм.

Задача 6. В параллелограмме ABCD точка К – середина АВ, а L – середина ВС. Зная, что S_KBLD = S , найдите S_ABCD .

Решение.

Проведем диагональ ВD. Тогда, исходя из утверждения 2, получим, что S_ABCD = S.

Задача 7. В четырехугольнике ABCD точка Е, середина АВ, соединена с вершиной D, а точка F, середина CD, - с вершиной В.

Докажите, что S_ABCD = 2S_EBFD

Решение. Проведя диагональ ВD и рассуждая аналогично задаче 6, получим, что

S_ABCD = 2S_EBFD

Задача 8. В произвольном че-тырехугольнике проведены от-резки, соединяющие середи-ны сторон этого многоуголь-ника. Зная площади трех из полученных четырехугольни-ков, найдите площадь четвертого.

Решение. В силу утверждения 2 и обозначений, использованных для элементов чертежа, получим S1 = a + b, S2 = b + c, S3 = c + d, S4 = a + d. Тогда, зная S1, S2, S3, S4 получим, что S4 = S1 + S3 - S2 .

Задача 9. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Решение.

В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь

S_▲AOB = S_▲BOC = S_▲COD =S_▲DOA

Задача 10. Середины двух параллельных сторон паралле-лограмма соединены с противо-лежащими вершинами. Какая часть площади параллело-грамма ограничена проведенными отрезками?

Решение.

Проведем отрезок МК. Тогда

в силу задачи 9 S_MFKE = 41S_ABCD.

Задача 11. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Середины сторон АВ и CD обозначены соответственно через К и М, точку пересечения отрезков ВМ и СК – через Р, точку пересечения отрезков АМ и DК – через О. Докажите, SMOKP = S▲BPC + S▲AOD

Решение. Проведем диагональ ВD. Так как DК и ВМ медианы вновь полученных треугольников, то S_AKD=21S_ABD, S_BMC=21S_BCD. Отсюда S_▲AKD + S_▲BMC = $$\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ (1) Проведя диагональ АС и учитывая, что АМ и СК медианы уже вновь полученных треугольников, получим S_KBC=21S_ABC, S_AMD=21S_ACD .Тогда S_▲KBC + S_▲AMD = $$\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ (2).Из равенств (1) и (2) следует, что S_▲AKD + S_▲BMC + S_▲KBC + S_▲AMD = S_ABCD .

В этой сумме дважды учтены площади ∆ВРС и АОD, но не учтена площадь четырехугольника МОКР. Поэтому S_MOKP = S_▲BPC + S_▲AOD.

Задача 12. На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника АВСD отложены отрезки BB₁ = AB, CC₁ = BC, DD₁ = CD и AA₁ = AD. Докажите, что площадь четырехугольника А₁В₁С₁D₁ в 5 раз больше площади четырехугольника АВСD.

Решение. Медиана делит площадь треугольника пополам, поэтому площади треугольников ABC, BB₁C и CC₁B₁ равны между собой. Площадь ∆ ACD равна площади ∆ADD₁, площадь ∆ ADD₁ равна площади треугольника AA₁D₁ и т. д. Тогда S_▲BB1C1 = 2S_▲ABC, S_▲CC1D1 = 2S_▲BCD, S_▲AA1B1 = 2S_▲DBA, S_▲DD1A1 = 2S_▲CAD. Суммируя эти равенства, получим S_▲BB1C1 + S_▲CC1D1 + S_▲AA1B1 + S_▲DD1A1. Обозначим площадь четырехугольника АВСD через S, тогда площадь четырех построенных треугольников равна 4S, а площадь четырехугольника А₁В₁С₁D₁ равна 5S.

Задача 13. Вершина А квадрата АВСD соединена с точкой О – серединой ВС, вершина В – с точкой Е – серединой СD, вершина С – с точкой N – серединой АD, а вершина D – с точкой К – серединой АВ. Точки пересечения проведенных прямых L, M, R, и Р служат вершинами четырехугольника LMRP.

Докажите, что SLMRP=51SABCD.

Решение. ВКDE – параллелограмм, так как ВК = DE и ВК//DE, поэтому ВЕ//КD. АОСN – параллелограмм, так как АN = ОС и АN//ОС, поэтому ОА//СN. Учитывая, что О, Е, N, и К – середины сторон, из теоремы Фалеса следует, что АL = LP, BP = PR, CR = RM и DM = ML. Для большей наглядности дальнейшего хода решения задачи, представим чертеж в другом виде. Дальнейший ход решения совпадает с решением задачи 12.