Մաթեմատիկական օլիմպիադաները տարրական դպրոցում

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՕԼԻՄՊԻԱԴԱՆԵՐԸ ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ

Ս.Վ. Աբաջյան, Մանկավարժական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ Բաբկեն Ներսիսյան, Մանկավարժական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ, ՀՀ վաստակավոր մանկավարժ Հ.Մ. Ներսիսյան, Մասիս քաղաքի Վահրամ Բաբայանի անվան թիվ 2 դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Որպես մրցույթի ձև մաթեմատիկական օլիմպիադաները տարրական դպրոցում ավելի ու ավելի մասսայականություն են վայելում: Արդեն առաջին դասարանի վերջում կուտակվում է բավանակաչափ նյութեր, որոնք հնարավորություն են տալիս առաջարկելու օլիմպիական մրցույթներ: Պարզ է, որ կրթական ուսումնառության յուրաքանչյուր տարվա համար օլիմպիադայի բովանդակությունը պետք է համապատասխանի աշակերտների անցած մաթեմատիկայի ծրագրին:

Յուրաքանչյուր դասի ընթացքում պետք է առաջարկել թվաբանական գլուխկոտրուկներ, տրամաբանական կամ կոմբինատորիկայի խնդիրներ, ինչպես նաև վարժություններ, որոնք վերաբերվում են պատկերների տրոհմանը, կամ պատկերները ստանլուն: Դասարանական աշխատանքները անհրաժեշտ է լրացնել շաբաթը գոնե մեկ անգամ անցկացվող մաթեմատիկական խմբակային պարապմունքների միջոցով:

Աշակերտները պարապմումքների ընթացքում լուծում են տնային առաջադրանքները և հաջորդ պարապմունքի համար ստանում նոր առաջադրանքներ: Սովորաբար պարապմունքների տևողությունը չի գերազանցում 1 ժամը:

Չնայաց ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման համար չկան ընդհանուր մեթոդներ, այս վարժությունները կարելի է պայմանականորեն բաժանել հետևյալ հիմնական դասերի.

1. Երկրաչափական պատկերների քանակների որոշումը:

2. Փայտիկներով խնդիրներ:

3. Պատկերների տրոհումը հավասար չափերով մասերի:

4. Կշռման վերաբերյալ խնդիրներ:

5. Կախարդական քառակուսիներ:

6. Լցումների վերաբերյալ վարժություններ:

7. Կոմբինատորիկայի խնդիրներ:

8. Թվաբանական գլուխկոտրուկներ:

9. Տրամաբանական խնդիրներ:

10. Տեքստային խնդիրներ:

Բնական է, որ երկրորդ դասարանում կարելի է առաջարկել 1-4 տիպի խնդիրներ, երկրորդ դասարանում դրանց ավելացնել 5-6 տիպի վարժությունները, իսկ չորրորդում` բոլոր տեսակի խնդիրները:

Նշենք, որ օլիմպիադաների ընթացքում կարելի է առաջարկել նաև այլ տիպի խնդիր-վարժություններ. Օրինակ, պատկերների մակերեսների հաշվման վերաբերյալ խնդիրներ:

Այս խնդիրների լուծումը երեխաների մոտ զարգացնում է մաթեմատիկական մտածողությունը և նրանք մեծ հետաքրքրությամբ լուծում են այս խնդիրները իրենց ծնողների և ուսուցչի օգնությամբ:

Այժմ դիտարկենք առաջին վեց տիպերից կոնկրետ վարժություններ, հիմնականում ուշադրություն դարձնելով լուծման մեթոդներին:

1. Քանի՞ եռանկյուն կա նկարում:

Լուծում: Ընդհանրապես, եթե խնդիրը բարդ է,

սկզբում դիտարկում ենք ավելի պարզ

հնարավոր դեպքերը, իսկ հետագայում

այն կամաց-կամաց բարդացնելով վերջում դիտարկում ենք տրված խնդիրը: Այս օրինակում սկզբում դիտարկում ենք եռանկյունը: Եթե նրան ավելացնենք հատվածը, կառաջանա ևս մեկ եռանկյուն` -ն, եթե ավելացնենք հատվածը կավելանա ևս մեկ եռանկյուն` -ն: Պարզ է, որ յուրաքանչյուր հատվածին կհամապատասխանի մեկ եռանկյուն և եռանկյունների ընդհանուր քանակը կլինի 5:

1. Ք անի՞ քառանկյուն է նկարված պատկերում:

Լուծում: Քառանկյունների քանակի հաշվարկը

կատարվում է ձախից-աջ: կողմով կան 4

քառանկյուններ` :

Երեք քառանկյուններ կան կողմով,

2 քառանկյուններ առաջանում են կողմով և, վերջապես, կա մեկ քառանկյուն կողմով: Այսպիսով` նկարում կան 4+3+2+1 =10 տարբեր քառանկյուններ:

1. Քանի քառակուսի կա նկարում :

Լուծում: Քառակուսիների հաշվարկը կատարենք

նրանցում վանդակների քանակին համապատասխան`

հաշվարկը կատարելով ձախից – աջ: Պարզ է, որ մեկ

վանդականոց քառակուսիների քանակը հավասար է 9: 4 վանդականոց մեկական քառակուսիները առաջանում են կողմերով: 9 վանդականոց կա միայն մեկ քառակուսի: Այսպիսով քառակուսիների քանակը հավասար է 9+4+1 =14:

Փայտիկներով խնդիրները չունեն որոշակի մեթոդական ուղղվածություն: Այս վարժությունները կարելի է օգտագործել բանավոր մրցույթների դեպքում: Դիտարկենք հետևյալ երկու օրինակները:

1. Փայտիկներով կազմել նշված պատկերը:

Տեղափոխել 3 փայտիկներ այնպես, որ ստացվեն երեք եռանկյուններ:

Լուծում: Տես նկարը:

1. Փայտիկներով կազմել նշված պատկերը:

2 փայտիկներ տեղափոխել այնպես, որ ստացվեն 4 իրար հավասար քառակուսիներ:

Լուծում: Տես նկարը

3.1. Հետևյալ պատկերը տրոհել 4 հավասար մասերի:

Լ ուծում: Պարզ է, որ վանդակների քանակը հավասար է 12, ուրեմն յուրաքանչյուր մաս բաղկացած կլինի 3 վանդակներից: Այդ վանդակները մի գծով չեն, ուրեմն

ո ւնեն տեսքը:

Վերջնական տրոհումը

տես նկարում

Ներքոհիշյալ վարժություններում վանդակների մի մասը նշված են: Անհրաժեշտ է պատկերը բաժանել մի քանի հավասար մասերի այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուրը ունենա մեկ նշված վանդակ:

3 .2. 4 x 4 քառակուսին տրոհել

4 հավասար մասերի այնպես,

որ նրանցից յուրաքանչյուրը

ունենա մեկ նշված վանդակ:

Լուծում: Քանի որ յուրաքանչյուր

մաս պետք է ունենա 4 վանդակ, որոնցից մեկը նշված է, ապա պատասխաններից մեկը տես նկարում:

3.3. Որոշակի դժվարություն է ներկայացնում նկարում պատկերված սեղանի տրոհումը 4 հավասար մասերի: Նկատի ունենանք, որ այս դեպքում անկյունագծային տրոհումը թույլատրվում է:

Լուծում: Այս դեպքում յուրաքանչյուր տրոհված մաս պարունակում է 5 վանդակ և 2 եռանկյուն: Այժմ դժվար չէ գտնել այդպիսի տրոհում:

4.1. Նժարավոր կշեռքի միջոցով 24 կգ մեխից ստանալ 9 կգ և 14 կգ մեխ:

Լուծում: Նժարավոր կշեռքի միջոցով մեկ կշռումով կարելի է մեխի զանգվածը կիսել երկու հավասար կշռով մասերի: Առաջին կշռումով կստանանք 12 կգ և 12 կգ: Երկրորդ կշռումով կիսելով դրանցից մեկը կստանանք 6 կգ և 6 կգ, իսկ երրորդ կշռումով կիսելով ստացված մասերից մեկը կստանանք 3 կգ և 3 կգ մեխ: Մնում է միացնել ստացված մասերը` 6+3=9 կգ և 9+6=15 կգ:

4.2. Չորս մետաղադրամներ` 1 դրամանոց` 1 գ կշռով, 2 դրամանոց` 2 գ կշռով, 3 դրամանոց` 3 գ կշռով և 5 դրամանոց` 5 գ կշռով այնպիսին են, որ նրանցից մեկը կեղծ է և իր նորմալ զանգվածից տարբեր է: Նժարավոր կշեռքի միջոցով 2 կշռումով գտնել կեղծ մետաղադրամը:

Լուծում: Առաջին կշռումը կատարվում է 1, 2 և 3 մետաղադրամների հետ: Եթե հավասար են կշիռները, ապա պարզ է, որ կեղծը կլինի 5-ը: Հակառակ դեպքում կշռում ենք 2, 3 և 5-ը: Եթե այս դեպքում կշիռները հավասար են, ապա կեղծը կլինի 1 մետաղադրամը: Մնում է դիտարկել ևս 4 դեպքեր, երբ նշված կշռումների ժամանակ չկա հավասարակշռություն, որի դեպքում պարզ է, որ 1-ը և 5-ը իրական են և կեղծը կամ 2-ն է, կամ 3-ը : Եթե 1, 2-ը թեթև է 3-ից, 2, 3 –ը թեթև է 5-ից, ապա կեղծը թեթև է և 2-ն է: Եթե 1,2-ը թեթև է 3-ից, 2, 3 –ը ծանր է 5-ից, ապա կեղծը ծանր է և 3-ն է: Եթե 1, 2-ը ծանր է 3-ից, 2, 3 –ը ծանր է 5-ից, ապա կեղծը ծանր է և 2-ն է: Եթե 1, 2-ը ծանր է 3-ից, 2, 3–ը թեթև է 5-ից, ապա կեղծը ծանր է և 3-ն է:

Այժմ դիտարկենք մոգական քառակուսիներին վերաբերյալ երկու խնդիր

4, 6, 9, 10, 11, 12 թվեր այնպես, որ

քառակուսին լինի մոգական:

Լուծում: Քառակուսու բոլոր վանդակներում թվերի գումարը հավասար է 4 + 5 + 6 + 7 + … + 12 = 72:

Ուրեմն յուրաքանչյուր տողի թվերի գումարը հավասար կլինի 72 : 3 = 24:

Այժմ դժվար չէ լրացնել բացակա թվերը:

5.2. Քառակուսու դատարկ վանդակներում տեղադրել

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 թվեր այնպես, որ ստացվի մոգական

քառակուսի:

գումարը` 2 + 3 + 4 + ... + 10 = 54, ուրեմն յուրաքանչյուր

տողում, սյունակում և անկյունագծով եղած թվերի

գումարը պետք է լինի 18: Եթե տրված թվերից կազմենք եռյակներ այնպես, որոնց գումարը ստացվի 18, ապա 2 թիվը կլինի միայն երկու եռյակում` 2, 6, 10 և 7, 2, 9 : Դա նշանակում է, որ 2-ը պետք է լինի քառակուսու կողմի

ավելացնել մնացած թվերից 7, 9 և 10-ը,

որից հետո կավելացվեն մնացած թվերը`

Ցածր դասարաններում սովորաբար դիտարվում է լցման երկու տիպային վարժություններ` երբ պահանջվում է կիսել հեղուկի քանակությունը 2 տարբեր տարողություն ունեցող ամանների միջոցով և երբ հոսող հեղուկից պահանջվում է տրված քանակության հեղուկ ստանալ:

Մաթեմատիկական խմբակներում կարելի է առաջադրել հետևյալ վարժությունները:

1. Կարելի է, արդյոք, 52 բանանները բաժանել 11 կապիկների միջև այնպես, որ նրանցից կամայական երկուսը ստանան տարբեր քանակի բանաններ:

2. Տ րոհել պատկերը ցանցի գծերի երկայնքով այնպես, ստացված 4 մասերը լինեն իրար հավասար:

3. Տրոհել պատկերը ցանցի գծերի երկայնքով

այնպես, ստացված 4 մասերը լինեն

իրար հավասար:

1. Փայտիկներով կազմել հետևյալ պատկերը :

Վերցնել 2 փայտիկ այնպես, որ մնա իրար

հավասար 4 քառակուսիներ:

1. 4 մետաղադրամներից մեկը կեղծ է, սակայն

հայտնի չէ այն ծանր է, թե թեթև իրականներից:

Նժարավոր կշեռքի միջոցով 2 կշռումող որոշել

թե կեղծը ծանր է, թե թեթև իրականներից:

1. Սեղանին դրված են 3 պարկ արտաքնապես իրար նման մետաղադրամներ: Առաջինում 20, երկրորդում` 25 և երրորդում` 30 մետաղադրամներ: Հայտնի է, որ նրանցից մեկում կա կեղծ մետաղադրամ, որի զանգվածը տարբեր է իրականներից: Ինչպես նժարավոր կշեռքի միջոցով մեկ կշռումով որոշել իրական մետաղադրամներով որևէ պարկ:

2. Գ տնել նշված պատկերների

մակերեսները, եթե վանդակների

կողմի երկարությունը 1 է:

1. 1, 2, 9, 25, 49, 64 թվերը տրոհել երկու խմբերի այնպես, որ խմբերում եղած թվերի գումարները լինեն իրար հավասար:

2. Ունենք 9 կգ շաքարավազ: Նժարավոր կշեռքի միջոցով 3 կշռումով ստանալ 2 կգ շաքարավազ ունենալով միայն մեկ 200 գ- անոց կշռաքար:

3. Տասը տղաների և աղջիկների տվեցին 56 խաղալիքներ: Յուրաքանչյուր տղա ստացավ 5 խաղալիք, իսկ յուրաքանչյուր աղջիկ` 6 խաղալիք: Նրանցից քանիսն են տղա և քանիսն են աղջիկ:

4. Տուփում կան կապույտ, կանաչ և կարմիր գույնի 20 գրիչներ: Կապույտները 6 անգամ շատ են քան կանաչները, իսկ կարմիրների քանակը քիչ է կապույտների քանակից: Տուփում քանի կարմիր գրիչ կա:

Գրականություն

1. Н.Г. Белицкая, А.О.Орг. Школьные олимпиады, Начальная школа,2-4 классы.

2. Б.П. Гейдман,И.Э.Мишарина. Подготовка к математической олимпиаде, Начальная школа,2-4 классы.