Математическая модель теории катастроф

Александрова Виктория Евгеньевна

Самарский Государственный Технический Университет

«Математическая модель теории катастроф»

В динамических системах возможно не только постоянное и относительно предсказуемое поведение, но и резкие скачкообразные изменения. Такими скачкообразными изменениями в неустойчивых состояниях динамической системы занимается теория катастроф.

Целью работы является изучение теории катастроф и ее составляющих с точки зрения научных исследований.

Задачи исследования 

1) рассмотрение исторических аспектов теории катастроф;

2) описание типов катастроф;

3) применение теории катастроф в практике;

Актуальность заключается в том, что основой теории катастроф является теория особенностей дифференцируемых отображений, сформировавшаяся на стыке топологии и математического анализа, и являющаяся обобщением задач на экстремум в математическом анализе.

Немного истории

Термины "катастрофа" и "теория катастроф" были введены в физическую математику, а точнее - в математическое моделирование, Рене Томом  и Кристофером Зиманом в конце 1960-х - начале 1970-х годов. Одной из главных задач теории катастроф является получение так называемой нормальной формы исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения) в окрестности "точки катастрофы" и построенная на этой основе классификация объектов.

Разделяют несколько видов катастроф.

1. Катастрофа типа складка определяется потенциальной функцией

Термодинамическая устойчивость самогравитирующих звездных систем является хорошей иллюстрацией катастрофы складки. Управляющими параметрами можно рассматривать такие характеристики, как радиус и энергия. Катастрофе складка соответствует траектория равновесия, которая загибается в критической точке С, меняя при этом характер устойчивости. На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части (условно на меньшую и большую).

1. Катастрофа типа сборка - трёхкратное равновесие (катастрофа типа А3). Потенциальная функция 4-ой степени: f(х)=х⁴+aх² +bх

Сборка - одна из таких особенностей, которая возникает, если проектировать сферу на плоскость в точках экватора. Две сборки можно увидеть на поверхности бутылки (предпочтительнее из-под молока). Покачивая бутылку, мы экспериментально убеждаемся в том, что сборка устойчива.

Критические, дважды вырожденные критические и трижды вырожденные критические точки катастрофы А₃ определяются приравниванием соответственно первой, второй и третьей производных нулю.

1. Катастрофа типа ласточкин хвост

Пространство для изображения данного типа катастрофы является трехмерным.

Данный тип катастрофы состоит из трех разделенных поверхностей типа «свёртки», которые соединяются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в свою очередь сходятся в одной точке. Данная гиперповерхность погружена в пространство R3 и делит его на три открытых области. В каждой из них вид изоморфен и кардинально меняется только при проникновении через плоскости сепаратрис катастрофы A4 .

1. Катастрофа типа бабочка

Для изображения данной катастрофы применяют трехмерное пространство. В данном типе катастрофы потенциальная функция может иметь от одного до трех локальных минимумов, при этом они разделены областями с разветвлениями, которые имеют тип «свертка». В точке, которую именуют «бабочка» встречаются три трехмерные плоскости бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

Рассмотрим некоторые задачи.

3 пример.

Таким образом, теория катастроф состоит из сложных математических расчетов, ее главная цель: понять изменение и прерывность в системах, то есть поведение самой системы.