Математические модели голосования

Исследовательская работа по математике На тему: «Математические модели голосования»

Ученика 11 класса

Топалова Владислава

Руководитель: Мигинская Л.М.

Начать

Содержание:

1. Введение

2. Различные системы демократических выборов

2.1 Вводные данные

2.2 Правило относительного большинства

2.3 Правило абсолютного большинства

2.4 Правило Борда

2.5 Правило Кондорсе

2.6 Правило с подсчетом голосов

2.7 Голосование с последовательным исключением

2.8 Правило Компленда

2.9 Правило Симпсона

3. Заключение

4. Список Литературы

Введение

Испокон веков люди понимали, что в любом обществе должна существовать власть и структура, иначе в нем неизбежен хаос. Необходима конструктивная организация, четкое распределение ролей каждого из членов общества, которая в совокупности будет способна обеспечить его благополучие и процветание.

Вводные данные

Процедуры голосования имеют множество форм, таких как голосование абсолютного большинства, мажоритарные избирательные системы, одобряющее голосование и многие другие.

Пример правила относительного большинства

Задача

В ходе голосования кандидат a получит 20 голосов, кандидату b достанется 10 голосов, а кандидат c получит 15 голосов. Очевидно, что победит первый кандидат. Однако после такого голосования количество людей, которые останутся недовольны результатами будет равно 25, что больше половины от всего количества голосующих. Данный факт говорит нам о том, что подобные выборы нельзя назвать в полной мере справедливыми, так как победивший кандидат при попарном сравнении с остальными проигрывает каждому из них. Поэтому данный метод нуждается в модификации.

Пример правила абсолютного большинства

Рассмотрим на примере прошлой задачи. количество поддерживающих победившего в первом туре кандидата a меньше 50% всех голосующих, поэтому возникает необходимость второго тура. При голосовании во втором туре те же 20 человек вновь поддержат первого кандидата, 15 представителей третьей группы предпочтений проголосуют за кандидата c , поэтому решающими станут голоса людей, которые в первом туре поддерживали второго кандидата. Для них предпочтительнее победа кандидата c , поэтому они отдадут свои голоса за него. Таким образом, третий кандидат получит 15 + 10 = 25 голосов и одержит победу. С подобным исходом будут согласны 56% избирателей, условие абсолютного большинства выполняется и это может стать результатом выборов.

Пример правила Борда

В голосовании принимает участие n кандидатов. Каждый избиратель, ориентируясь на свои личные предпочтения, ранжирует кандидатов, выставляя каждому баллы от n − 1 (для лучшего по его мнению) до 0 (для худшего соответственно). Затем проставленные баллы для каждого кандидата суммируются, и в итоге побеждает кандидат с максимальной суммой. Проведем эту процедуру в условиях нашей задачи. Составим Таблицу

Очевидно, что победу одержал кандидат b

Пример правила Кондорсе

В каждой ячейке с индексом ij записывается число голосов, которые были отданы за i -го кандидата в противостоянии с j -ым в ситуации, когда i -ый кандидат победил в рассматриваемом противостоянии. Построим эту таблицу для рассматриваемой нами задачи:

Таким образом, из таблицы очевидно, что в выборах одерживает победу второй кандидат, так как он победил первого и третьего кандидатов в очных противостояниях.

b c, n2 = 10 : b c a, n3 = 10 : c a b. При проведении попарных голосований мы получим следующие результаты: при выборе между a и b победу одержит a, при выборе между a и c победу одержит c, при выборе между b и c победу одержит b. Таким образом, цепь всеобщих предпочтений голосующих примет вид: a b, b c, c a. Ни один кандидат не одержал победу во всех противостояниях, поэтому победителя по принципу Кондорсе выявить невозможно. " width="640"

Пример проблемы правила Кондорсе

Пусть предпочтения голосующих имеют следующий вид:

n1 = 10 : a b c, n2 = 10 : b c a, n3 = 10 : c a b.

При проведении попарных голосований мы получим следующие результаты: при выборе между a и b победу одержит a, при выборе между a и c победу одержит c, при выборе между b и c победу одержит b. Таким образом, цепь всеобщих предпочтений голосующих примет вид: a b, b c, c a. Ни один кандидат не одержал победу во всех противостояниях, поэтому победителя по принципу Кондорсе выявить невозможно.

Пример правила с подсчетом голосов

Пусть в голосовании участвуют n кандидатов. Вводится последовательность чисел (или рангов) вида r 0 ≤ r 1 ≤ · · · ≤ r n−1 , в которой обязательно должно выполняться условие r 0

Пример правила голосования с последовательным исключением

В первом туре проводится голосование между первым и вторым кандидатами, т.е. a и b соответственно. Первый кандидат получает 20 голосов, второй - 25. Следовательно, дальнейшую борьбу продолжает кандидат b , кандидат a выбывает. Во втором туре его соперником становится кандидат c . Голоса распределяются следующим образом: b - 30, c - 15. В этом противостоянии также побеждает кандидат b . Таким образом, он одерживает победу и в выборах в целом.

Пример правила Компленда

Рассмотрим двух кандидатов p и q.Если для большинства избирателей p предпочтительнее q, то F (p) = +1, если q предпочтительнее p, то F (p) = −1, если число предпочитающих p и число предпочитающих q равно, то F (p) = 0. Побеждает кандидат, для которого значение функции F максимально. Рассчитаем значения F для нашей задачи. Получим следующие значения:

F(a)= −2, F (b) = 2, F (c) = 0.

Таким образом, при голосовании данным методом победит кандидат b .

Пример правила Симпсона

Построим оценку Симпсона для каждого из трех кандидатов: R(a) = 20, R(b) = 30, R(c) = 20. В ходе голосования побеждает второй кандидат, так как для него оценка Симпсона максимальна.

Заключение

В этой работе я проиллюстрировал все известные математические модели голосования. Данные модели применяются в самых различных выборах, начиная от спорта, заканчивая партиями в Государственный Совет и выборами Президента. В большинстве стран используются разные модели. Это все, что я хотел сказать.

Литература

1.Вольский В. И. "Процедуры голосования в малых группах с древнейших времен и до начала XX века".

2. Wikipedia “Система абсолютного большинства”.

3. Wikipedia “Правило Симпсона”.

Конец