Математические софизмы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

При разборе МС выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в МС:

1. деление на 0;

2. неправильные выводы из равенства дробей;

3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4. нарушения правил действия с именованными величинами;

5. путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;

6. проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

7. неравносильный переход от одного неравенства к другому;

8. выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

9. ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Цели применения МС на уроках математики могут быть самыми разнообразными:

• изучение исторического аспекта темы;

• создание проблемной ситуации при объяснении нового материала;

• проверка уровня усвоения изученного материала;

• для занимательного повторения и закрепления изученного материала.

1. “Единица равна двум”

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

1=2.

Комментарий.

По определению представляет собой некоторое неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст х². Ясно, что этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х неотрицательно (х0), то =х; если же число х отрицательно, т. е. число -х положительно, то = - x. Отсюда заключаем, что (свойство арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих софизмов и приводит к ложным выводам.

Но все же самой популярной ошибкой в софизмах является “Деление на 0”. “Деление на нуль является одним из наиболее распространенных источников ошибок при проведении преобразований различных выражений и при решении уравнений. “Сокращение” уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице.” [1]

Предупредить ошибки подобного рода поможет рассмотрение софизмов. Например при изучении темы “Преобразования многочленов” в 7кл.

2. “Все числа равны между собой”

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)² = (b-а)². (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

3. “В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.

Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому

АВ=СЕ

т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

Разбор софизма.

В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит:

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4. Один рубль не равен 100 копеек.

1 р=100 коп

10 р=1000 коп

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10 р=100000 коп, откуда следует:

1 р=10000 коп.

Применение этого софизма является также пропедевтикой использования именованных величин при решении физических задач.

И, конечно, я всегда начинаю знакомить ребят с математическими софизмами, утверждая, что:

“Два умножить на два будет пять”

2*2=4

44=55,

вынесем за скобки слева 4, справа5

4(11)=5(11),

разделим левую и правую часть на (11), получим

4=5, откуда следует

2*2=5.