Математический бильярд.

Задачи на переливание

Автор:Мишин Вячеслав Александрович, ученик 9 «А» класса, МОУ «Лицей № 36» города Калуги

Учитель: Фисенко Ирина Андреевна

Цель ю работы

• Является нахождение рационального способа решения алгебраических задач на переливание жидкости.

Задачи:

• Выявить, какие существуют способы решения подобных задач;
• Изучить эти методы.
• Составить алгоритмы решения задач с помощью этих методов.
• Понять при каких условиях решаются эти задачи.

• Объектом исследования являются методы математического бильярда и метод трилинейных координат, их возможность и эффективность применения.
• Предметом исследования является применение методов при решении задач занимательного и олимпиадного характера.

Математический бильярд.

Задача № 2

• В фильме "Крепкий орешек 3: Возмездие", чтобы обезвредить бомбу Брюсу Уиллису необходимо было решить головоломку с переливанием. До взрыва бомбы остается 2 минуты... В распоряжении у него 5-ти литровая и 3-х литровая бутылки и фонтан с водой. Чтобы обезвредить бомбу нужно положить на весы ровно 4 литра воды (4 кг), если больше или меньше, то бомба взорвется.
• Какие переливания нужно совершить Брюсу Уиллису, чтобы обезвредить бомбу?

Решение.

• Строю параллелограмм и отмечаю на нём точки. Соединяю линиями.

• Двигаю шар по траектории.

Ответ.

5 лит. сосуд

3

3 лит. сосуд

0

0

3

3

5

3

0

1

1

1

1

0

4

3

0

Условие разрешимости задач

• Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда.
• Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель. Так как в этом случае шар будет двигаться по одной и той же траектории.

Метод математического бильярда

• Идея метода:
• Нарисовать бильярдный стол.
• Интерпретировать действия движениями бильярдного шара.
• Фиксирование состояния в отдельной таблице.
• Преимущества метода:
• Наглядность.
• Привлекательность идеи.
• Возможность обобщить метод на широкий класс задач.

Алгоритм решения задач на переливание методом математического бильярда.

• 1. Построить геометрическую фигуру, зависимости от количества сосудов.
• 2. На сторонах параллелограмма отме тить точки по количеству литров в сосудах и пронумеровываем их.
• 3. Пос трои ть равно сторонние треугольники.
• 4. Построить и заполнить таблицу.
• 5. Записа ть результаты.

Трилинейные координаты.

Решение задач с помощью трилинейных координат.

• Задача № 3
• «Имеются три бочонка: 16, 11 и 6 - ведёрные. 16 - ведёрный бочонок полон, 11 и 6 - ведёрные пусты. Требуется разделить квас поровну, используя только эти бочонки».

Строю равносторонний треугольник и отмечаю на нём точки. Соединяю линии.

Провожу стрелки по траектории.

Записываем ответы в таблицу.

Боч

16 лит

16

Боч

11 лит.

0

10

Боч

6 лит.

0

10

0

6

4

6

0

4

6

11

6

15

0

1

15

1

9

1

0

1

9

7

3

6

3

7

0

11

6

14

2

0

14

2

8

2

0

8

8

6

6

0

Трилинейные координаты .

• Идея метода:
• Нарисовать равносторонний треугольник.
• Зафиксировать состояния точек в отдельной таблице.
• Преимущества метода:
• Простота.
• Легкость поиска решения.
• Возможность обобщить метод на широкий класс задач.

Трилинейные координаты.

• 1. Построить треугольник, зависимости от количества сосудов.
• 2. На сторонах треугольника отметить точки по количеству литров в сосудах и пронумеровать их.
• 3. Построить равносторонние треугольники внутри большого треугольника.
• 4. Передвигать шар по траектории, внимательно следя за ходами которые мы делаем.
• 5. Записать результаты.

Свои задачи на переливание.

• Задача № 4
• Капитан Немо плавал на своей подводной лодке «Наутилус» в Индийском океане. И вдруг на него нападают пираты и пробивают отсек лодки который должен заполнять балласт водой для погружения. Матросам нужно заполнить балласт водой вручную, как можно быстрее имея 10 тыс. и 6 тыс. бочки. А объём балласта 8 тыс. литров.

Первый вариант.

Второй вариант

Ответ

• Первый вариант оказался самым быстрым.

Бочки.

10 тыс.

10

6 тыс.

0

4

4

6

0

0

4

10

4

8

6

Задача №6

• «Задаю тебе последнюю задачу, - сказала принцесса Иванушке»,- найдешь решение -выйду за тебя замуж.

Задача: У тебя три бочонка: 6-ти ведерный, 3-х ведерный и 4-х ведерный. Налей мне литр кваса из батюшкиных запасов.

Решаю задачу.

Ответ.

Банки

6 л

4 л

6

0

3 л

2

2

4

0

1

5

0

1

3

0

Задача№7

• На водонапорной башне в деревни 50 литров воды. Бабке Матрене нужно 8 литров воды для того чтобы сварить суп. Как водопроводчику с помощью 10 литровой бочки 4 литровым ведром отмерить 8 литров воды?

Строю параллелограмм.

Двигаю шар.

Записываю ответ в таблицу.

сосуды

10л

10

4л

0

6

6

4

0

2

4

2

0

0

10

2

2

8

4

Задача№8

• Кот Матроскин собрался съездить в гости к коту Леопольду и взять с собой 4 л молока. Но Шарик разбил мерный стакан, а у Матроскина только 2 пустых бочонка: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком от любимой коровки. Как Матроскину отмерить 4 литра молока с помощью этих сосудов?

Решаю задачу.

Ответ.

ходы

8л

3л

8

0

3

5л

3

0

0

3

5

6

6

0

2

2

1

2

0

2

1

3

5

4

0

4

4