Математическое моделирование. Задача планирования производства.

Математическое моделирование

1. Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства). Для изготовления двух видов продукции P 1 и P 2 используют четыре вида ресурсов S 1 , S 2 , S 3 , и S 4 . Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице (цифры условные).

Прибыль от получаемого продукта: P 1 = 6 рублей , P 2 = 8 рублей

Составим план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной!

Для этого составим математическую модель и запишем обозначения:

1) X 1 и X 2 – это число единицы продукции

2) P 1 и P 2 – это продукция

ПРИСТУПИМ К ИЗГОТОВЛЕНИЮ ПРОДУКЦИИ!!! ( X 1 , X 2 )

Сейчас мы составим математическое уравнение для каждого ресурса ( S 1 , S 2 , S 3 , S 4 )

P 1 (продукция) в паре с x 1 (продукция = неизвестная), а P 2 (продукция) в паре с x 2 (продукции = неизвестная)

= вот данные взятые из таблицы

S 1 = P 1 + P 2 ≤ S

Запас ресурса

Теперь подставляем значения формулы S 1 = P 1 + P 2 ≤ S = S 1 = 7 (x 1 ) + 2 (x 2 ) ≤ 20

ПРИСТУПИМ К ИЗГОТОВЛЕНИЮ ПРОДУКЦИИ!!! ( X 1 , X 2 )

Сейчас мы составим математическое уравнение для каждого ресурса ( S1 , S2, S3, S4 )

P 1 (продукция) в паре с x 1 (продукция = неизвестная), а P 2 (продукция) в паре с x 2 (продукции = неизвестная)

= вот данные взятые из таблицы

S 2 = P 1 + P 2 ≤ S

Запас ресурса

Теперь подставляем значения формулы S 2 = P 1 + P 2 ≤ S = S 2 = 4 (x 1 ) + 5 (x 2 ) ≤ 14

ПРИСТУПИМ К ИЗГОТОВЛЕНИЮ ПРОДУКЦИИ!!! ( X 1 , X 2 )

Сейчас мы составим математическое уравнение для каждого ресурса ( S1 , S2, S3, S4 )

P 1 (продукция) в паре с x 1 (продукция = неизвестная), а P 2 (продукция) в паре с x 2 (продукции = неизвестная)

= вот данные взятые из таблицы

S 3 = P 1 + P 2 ≤ S

Запас ресурса

Теперь подставляем значения формулы S 3 = P 1 + P 2 ≤ S = S 3 = ? (x 1 ) + 3 (x 2 ) ≤ 7

ПРИСТУПИМ К ИЗГОТОВЛЕНИЮ ПРОДУКЦИИ!!! ( X 1 , X 2 )

Сейчас мы составим математическое уравнение для каждого ресурса ( S 1 , S 2 , S 3 , S 4 )

P1 (продукция) в паре с x 1 (продукция = неизвестная), а P2 (продукция) в паре с x 2 (продукции = неизвестная)

= вот данные взятые из таблицы

S 4 = P 1 + P 2 ≤ S

Запас ресурса

Теперь подставляем значения формулы S 4 = P 1 + P 2 ≤ S = S 4 = 5 (x 1 ) + ? (x 2 ) ≤ 34

= S 1 = 7 (x 1 ) + 2 (x 2 ) ≤ 20

= S 2 = 4 (x 1 ) + 5 (x 2 ) ≤ 14

= S 3 = ? (x 1 ) + 3 (x 2 ) ≤ 7

= S 4 = 5 (x 1 ) + ? (x 2 ) ≤ 34

По смыслу задачи переменные: x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

F – это суммарная прибыль.

F = P 1 (x 1 ) + P 2 (x 2 )

F = 6 (x 1 ) + 8 (x 2 )

Экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции Х=(x 1 ,x 2 ), удовлетворяющий системе (1.1) и условию (1.2), при котором функция (1.3) принимает максимальное значение.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

F = 6 (x 1 ) + 8 (x 2 )

X 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

Задачу легко обобщить на случай выпуска n видов продукции с использованием m видов ресурсов.

Предприятие для производства n видов продукции использует m видов ресурсов.

Известно, нормы затрат ресурсов для производства единицы продукции каждого вида:

a (ij) - норма затрат,

i – ого ресурса для производства единицы продукции,

j – ого вида .

Составим экономико-математическую модель задачи:

m видов ресурсов

a (ij) - норма затрат

i – одного ресурса для производства единицы продукции

j – одного вида продукции

B – объём ресурсов у предприятия

Cj – производимая продукция реализуемая в цене

N – виды продукции

Вид продукции = 1, вид продукции

Прибыль = вид продукции * (х1) + (прибыль от единицы продукта) (х2) + …

(прибыль от единицы продукта) вид продукции х вид продукции =

(прибыль от единицы продукта) вид продукции * х вид продукции

норма затрат * неизвестный вид продукции ≤ ограниченный вид ресурс,

Одного ресурса на единицу ресурса = 1, видов ресурса

Так как при решении результат может получиться отрицательным, то для решения необходимо обязательно использовать условия не отрицательности проектных параметров х. Нужно для избежание ошибки!

неизвестный вид продукции ≥ 0, вид продукции = 1, вида продукции.

Замечания:

1. В модели не учтены емкость рынка и объем поступивших заказов.

Учет этих факторов рынка можно записать в виде ограничений , где

dj- объем заказов

Dj - предельная емкость рынка

j - ой продукции.

2. Оптимальный объем и номенклатура производства могут определяться не только первоначальными запасами ресурсов , но и объемом выделенных финансов на производство Q . Тогда ограничения на ресурсы и финансы запишутся в виде следующих неравенств:

- цены на ресурсы

Таким образом, был рассмотрен план производство продукции, изготовление продукции, вычитывали максимальную прибыль и учёт с отрицательным значением