Математика. 2 - Неравенство Йенсена и его применение в геометрии. Задачи и их доказательства.

Неравенство Йенсена

Определение. Функция , заданная на некотором промежутке вещественной оси, называется выпуклой, если для любых чисел  из этого промежутка и любого числа  выполнено неравенство

Геометрически это означает, что всякая хорда, соединяющая две точки на графике, лежит выше соответствующей части графика.

Итак, сформулируем неравенство Иенсена.

Пусть  — выпуклая функция. Тогда

где  — числа из области определения функции ,  — положительные числа, сумма которых равна единице.

Доказательство проведем методом математической индукции. База при  справедлива по определению выпуклой функции. Совершим индукционный переход от  к :

Для эффективного применения неравенства Йенсена необходим простой критерий, позволяющий определить, является ли данная функция выпуклой. Такой критерий существует: дважды дифференцируемая функция, у которой вторая производная неотрицательна, выпуклая.

Покажем теперь, как из неравенства Йенсена можно получить классические неравенства (их можно получить все, приведем здесь лишь доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, и тех, что не были доказаны ранее).

1. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

Прологарифмировав обе части неравенства, получим

Функция  выпуклая, так как производная . Поэтому полученное неравенство — это неравенство Йенсена для функции  и

2. Неравенство между взвешенным средним арифметическим и средним геометрическим:

Так же, как и в предыдущем доказательстве, прологарифмируем обе части неравенства:

Это неравенство Йенсена для функции .

3. Неравенство Бернулли:

Логарифмируя обе части первого неравенства, получаем

  или

Используя выпуклость функции , имеем

Записывая второе неравенство в виде

аналогично предыдущему получаем

Если в определении выпуклой функции знак неравенства изменить на противоположный, то соответствующая функция называется вогнутой. Ясно, что функция  вогнута тогда и только тогда, когда функция  выпукла. Поэтому критерием вогнутости для дважды дифференцируемой функции является неположительность ее второй производной. Неравенство Йенсена для вогнутой функции  выглядит так: