Математика. Алгебра матриц и элементы линейной алгебры. Матрицы и действия над ними. Умножение матриц.

Умножение матриц

Произведением двух матриц A порядка m×n и B порядка n×k называется матрица C такая, что

где c_ij элементы матрицы C стоящие на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C=A·B или C=AB.

Из сформулированного выше определения вытекает, что для умножения матрицы Aна матрицу B необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Операция нахождения произведения матрицы A на матрицу B называется умножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения следует,что эта операция обладает следующими свойствами:

1. (AB)C=A(BC).
2. (A+B)C=AC+BC.
3. A(B+C)=AB+AC.
4. (αA)B=A(αB)=α(AB)=(AB)α.

Здесь α вещественное число.

Пример умножения двух матриц

Пусть заданы матрица A размера 2×3 и матрица B размера 3×3.

Тогда 

где c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₃b₃₁, c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂+a₁₃b₃₂, c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃+a₁₃b₃₃, c₂₁=a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁+a₂₃b₃₁, c₂₂=a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₃b₃₂, c₂₃=a₂₁b₁₃+a₂₂b₂₃+a₃₂b₃₃.

Умножение матрицы в общем случае не обладает свойством коммутативности: AB≠BA.

Пример:

Если AB=BA, то матрицы A и B называются коммутативными.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A на вещественное число β называется матрица C, элементы которой равны c_ij=βa_ij   (i=1,2,...,m; j=1,2,...n).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C=βA или С=Aβ. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Из определения умножения матрицы на число следует, что эта операция обладает следующими свойствами:

1. (αβ)A=α(βA)
2. α(A+B)=αA+αB.
3. (α+β)A=αA+βB.

Примеры умножения матрицы на число

Пусть задана следующая матрица порядка 2×3:

Умножим матрицу A на число f. Получим следующую матрицу:

Рассмотрим численный пример.

Умножив число 4 на матрицу

получим: