Математика. Алгебра матриц и элементы линейной алгебры. Матрицы и действия над ними. Вычисление определителей любого порядка. Матричные уравнения.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством mстрок и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или  (i=1,2,...m; j=1,2,...n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ijпервый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a₁₁, a₂₂ ,..., a_nn образуют главную диагональматрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы a_ii ( i=1,2,...,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a_1n, a_2n-1 ,..., a_n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E ⁿ, где n - порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица  порядка n×n называется верхней треугольнойматрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица  порядка n×n называется нижней треугольнойматрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(A^T).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x- вектор длины n - образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) илиN(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0.Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

A^T=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись: C=A-B.

Степень матрицы

Пусть  квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A⁰=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует: 

где p,q- произвольные целые неотрицательные числа.

 Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A^T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц  имеет место равенство: a_ij=a_ji ;   i=1,2,...n,   j=1,2,...n

Сложение матриц

Суммой двух матриц A и B одних и тех же порядков m×n называется матрица C тех же порядков m×n, элементы c_ij которой равны

c_ij=a_ij+b_ij   (i=1,2,...,m; j=1,2,...n).

Для обозначения суммы двух матриц используется запись:

C=A+B.

Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

1. A+B=B+A.
2. (A+B)+C=A+(B+C).

Здесь A, B, C произвольные m×n матрицы.

Примеры сложения матриц

Рассмотрим пример сложения следующих двух матриц: 

В результате сложения получим следующую матрицу:

где c₁₁=a₁₁+b₁₁,   c₁₂=a₁₂+b₁₂, c₁₃=a₁₃+b₁₃,  c₂₁=a₂₁+b₂₁, c₂₂=a₂₂+b₂₂,  c₂₃=a₂₃+b₂₃.

Рассмотрим следующий численный пример: 

Сумма матриц A+B будет: