Математика. Четность и нечетность функции. Примеры с решениями.

Функция  называется четной функцией, если для любого  из области определения выполняется равенство 

Функция  называется нечетной функцией, если для любого  из области определения выполняется равенство .

Если ни одно из условий  или  не выполняется, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида)

График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

При исследовании функции на четность и нечетность можно использовать следующие свойства:

1.  Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
2.  Произведение двух четных функций является четной функцией, равно как и произведение двух нечетных функций. Произведение четной и нечетной функции — нечетная функция.
3.  Если функция  четная (нечетная), то и функция  четная (нечетная).

Пример

Задание	Исследовать функцию  на четность, используя свойства четных и нечетных функций.
Решение	Исследуем отдельно четность функции, которые находятся в числителе и знаменателе:    то есть функция  четная; аналогично    а тогда и функция  четная. По свойству 3, так как  — четная, то четной будет и функция . Тогда исходную функцию  можно представить в виде произведения четных функций , следовательно, по свойству 2,  — четная.
Ответ	Исследованная функция четная.