Математика. Дробно-рациональные выражения.

Выражения, которые могут содержать операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень чисел и переменных, называются рациональными. Если рациональное выражение содержит операцию деления на выражение с переменной, то его называют дробным, а иначе — целым.

Рациональной дробью называют выражение вида \frac{A}{B},​B​​A​​, где AA и BB —  многочлены.

Если кроме операций, используемых для записи целых рациональных выражений, разрешено также и деление (в том числе и деление на выражения с переменными), то такие выражения называют дробно-рациональными.

Основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же (не ноль) число и при этом значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на многочлен, отличный от нуль-многочлена, то получим дробь, тождественно равную данной: \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},C\neq0.​B​​A​​=​B⋅C​​A⋅C​​,C≠0.

Сокращением дроби является деление числителя и знаменателя на общий множитель. Для сокращения дроби необходимо сначала разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Приведение дробей к общему знаменателю:

1. Найти НОК знаменателей дробей — это и будет общий знаменатель;
2. Найти дополнительный множитель для каждой дроби (делим общий знаменатель на знаменатель дроби);
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями необходимо сначала их привести к общему знаменателю.

Произведением рациональных дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Деление дробей сводится к произведению. Дробь, на которую нужно разделить, переворачиваем (меняем местами числитель и знаменатель), а затем умножаем: \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}.​B​​A​​:​D​​C​​=​B⋅C​​A⋅D​​.

Возведение рациональной дроби в степень с целым показателем: (\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}.(​B​​A​​)​n​​=​B​n​​​​A​n​​​​.