Математика. Геометрические задачи на построение + задачи с решениями

Задача на построение это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений).

Решение таких задач состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения и описать их, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.

В этом смысле решение задач на построение хорошо иллюстрирует один из основных принципов решения любых математических задач: решить задачу это значит свести ее к какой-либо задаче, уже решенной ранее!

Какие построения циркулем и линейкой считать стандартными?

Это вопрос предварительной договоренности. Договоримся, к стандартным построениям отнести следующие:

1) построение прямой, проходящей через две заданные точки;

2) построение окружности с данным центром и данным радиусом;

3) построение отрезка, равного данному;

4) построение угла, равного данному;

5) построение середины отрезка (серединного перпендикуляра к отрезку);

6) построение биссектрисы угла;

7) построение перпендикуляра к прямой, проходящего через заданную точку (два случая).

На основе этих стандартных построений легко осуществляется построение треугольниковпо трем основным элементам: 1) двум сторонам и углу; 2) стороне и двум углам; 3) трем сторонам. При этом очень важно понимать, что все линейные элементы в условиях задач заданы в виде отрезков (а не их длин), а все угловые – в виде углов (а не чисел, выражающих их величину).

Два основных метода решений задач на построение:

· метод вспомогательного треугольника

· метод геометрических мест точек.

1) Суть метода вспомогательного треугольника – свести решаемую задачу к уже известной задаче на построение треугольника по основным элементам или к уже решенной задаче на построение треугольника по каким-то другим элементам.

2) Метод геометрических мест основан на том, что часть объектов, получаемых при стандартных построениях циркулем и линейкой, являются одновременно ГМТ, обладающих определенными свойствами. Например, окружность является геометрическим местом точек, удаленных от заданной точки на фиксированное расстояние; серединный перпендикуляр к отрезку – ГМТ, равноудаленных от концов отрезка; биссектриса угла – ГМТ, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон и т. д. Помимо этого, некоторые ГМТ несложно построить, используя простейшие построения, метод вспомогательных треугольников и уже построенные ГМТ.

Суть метода ГМТ состоит в следующем: если некоторая точка X удовлетворяет двум условиям, то строятся ГМТ, удовлетворяющие каждому из этих условий, и тогда точка X принадлежит их пересечению.