Математика и музыка. Гармония математических пропорций в музыке.

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Бертран Рассел

Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.

Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.

Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольдбах ему отвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”.

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета – музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Родился Пифагор около 570 года до нашей эры на острове Самосее. Пифагор основал науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку. Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева. Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект. Он учился музыки в Египте и сделал ее предметом науки в Италии. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.

Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд  - “Compendium Musicae” в переводе “Трактат о музыке” ) , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Даниил Бернулли и другие.

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, можно сделать вывод, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» – писал Г. Нейгауз. Изучив работы ученых,можно установить, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики.

Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику.

Исследования музыкальных произведений

Произведение Г. Гладкова «Бременские музыканты»

Попробуем сделать математическую модель этого произведения: каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II ,3 – III, 4 – IV, 5 – V ,6 – VI ,7 – VII, 8 – I, 9 – II ,0 – III.

Переложили ноты на числа и получили при этом такой ряд чисел: 11123313 / 535 / 44432246 / 545 / 3353 / 666716 / 22217572 / 176 / 4561 / 7672 / 321117 / 176213 / 444443 / 22221 /. Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении.  В музыке есть понятие – устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (Т5/3): 1, 3, 5 ступени.

Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность. В первом такте сумма равна 13 (1+1+1+3+3+1+3), во II – тоже 13 (5+5+3), в III – 3 (3), в IV – 10 (5+5), в V – 14 (3+3+5+3), в VI – 1, в VII – 6 (5+1), в VIII – 1, в IX – 6 (5+1), в X – 0, в XI – 6 (3+1+1+1), в XII – 4 (1+3), в XIII – 3, в XIV – 1.

Получили ряд чисел: 13, 13, 3, 10, 14, 1, 6, 1, 6, 0, 6, 4, 3, 1. Вывод: Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр: 14, 13, 10, 6, 4, 3 ,1, 0. Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней. Получили числа в соответствии с номерами тактов: I. 54 (1*1*1*2*3*3*1*3). II. 75 (5*3*5) III. 18432 (4*4*4*3*2*2*4*6) IV.100 (5*4*5) V. 135 (3*3*5*x3) VI. 9072 (6*6*6*7*1*6) VII. 3920 (2*2*2*1*7*5*7*2) VIII. 12 (1*7*6) IX. 120 (4*5*6*1) X. 288 (7*6*7*2) XI. 336 (3*2*2*2*2*7) XII. 252 (1*7*6*2*1*3) XIII. 3072 (4*4*4*4*4*3) XIV. 16 (2*2*2*2*1) Имеем следующий ряд чисел: значения в I (11123313) и II (535); III (44432246) и XIII (444443); VI (666716), VIII (176) и XIV (22221); XI (322227), IX (4561) и VII (22217572) тактах получились разные за счет того, что количество нот в них различное.

Классическое произведение И. С. Баха Хорошо темперированный клавир «Прелюдия №1»

Рассмотрим шесть тактов этого произведения.  Получили следующий ряд чисел:  1351351313513513 / 1262462412624624 / 7252452472524524 / 1351351313513513 / 1263663613636636 / 1262462412624624 /… Сложим цифры – устойчивые ступени.I – 44, II – 2, III – 20, IV – 44, V – 17, VI – 2… Получили ряд чисел: 44, 2, 20, 44, 17, 2. Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр: 44 и 2. Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней. Получили числа в соответствии с номерами тактов: I. 455625 (1*3*5*1*3*5*1*3*1*3*5*1*3*5*1*3) II. 21233664 (1*2*6*2*4*6x2x4x1x2x6x2x4x6x2x4) III. 501760000 (7x2x5x2x4x5x2x4x7x2x5x2x4x5x2x4) IV. 455625 (1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x3x5x1x3) V. 136948896 (1x2x6x3x6x6x3x6x1x3x6x3x6x6x3x6) VI. 21233664 (1x2x6x2x4x6x2x4x1x2x6x2x4x6x2x4) Числа I и IV, II и VI тактов повторяются, следовательно представляют математическую модель, которая имеет числовую закономерность.

Любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности. Однако, в ходе выполнения исследования, выше перечисленными способами, мною выявлено, что каждый числовой ряд имеет свою математическую закономерность ( из-за разного количества нот в тактах).

Таким примером является музыкальное произведение «Бременские музыканты».