Математика и мы

Управление образования администрации Курагинского района

Муниципальное автономное образовательное учреждение

дополнительного образования

«Центр дополнительного образования»

Дополнительная общеобразовательная

общеразвивающая программа

«Математика и мы»

Возраст обучающихся:

16-17 лет

Срок реализации программы:

2 год (216 часов)

Автор-составитель программы:

педагог дополнительного образования

Юдина Ольга Ивановна

пгт. Курагино 2017 г.

I.Пояснительная записка

Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа (ДООП) «Математика и мы» предназначена для работы с одаренными детьми и направлена на углубление знаний, развитие системно - деятельностного подхода к обучению, формирование у обучающихся потребности в непрерывном самообразовании. Новизна программы состоит в том, что она поможет расширить и углубить знания учащихся по всем разделам математики, алгебры и геометрии. Кроме того ДООП направлена на формирование познавательных УУД обучающихся, реализацию интеллектуальных и творческих способностей у школьников. Содержание материала, представленного в программе, значительно дополняет учебный материал общеобразовательной школы. Актуальность ДООП «Математика и мы» определяется тем, что материал, предлагаемый в данной программе, углубляет знания учащихся и ориентирует их на создание условий для социального, профессионального самоопределения, творческой самореализации личности одаренного ребенка. Педагогическая целесообразность ДОООП объясняется недостаточностью времени на уроках для занятий с одаренными детьми и тем, что содержание программы удовлетворяет требованиям стандартов второго поколения.  ДООП «Математика и мы» составлена согласно Примерным требованиям к программам дополнительного образования детей (письмо Министерства образования РФ от 11.12.2006 №06-18-44) . Программа изменена с учетом особенностей организации и формирования групп детей, режима осуществления деятельности МАОУ ДО «Центр дополнительного образования», приведена в соответствие с требованиями Федерального закона Российской Федерации от 29 декабря 2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» и скорректирована с учетом требований к дополнительному образованию в рамках Федеральных государственных образовательных стандартов, введенных в общеобразовательных школах. Программа имеет естественнонаучную направленность и предназначена для учащихся 10-11 классов (16-17 лет) средних общеобразовательных школ. Форма обучения – очная, срок реализации программы: 2 года (216 часов).

Первый год обучения -108 часов, второй год обучения – 108 часов.

Цель программы: создание условий для развития обучающегося, повышение качества его обучения, расширение возможностей развития индивидуальных способностей, улучшение условий социальной адаптации.

Задачи:

- развитие личности одаренного ребенка;

- развитие позитивной Я-концепции и творческой самостоятельности;

- развитие коммуникативных и рефлексивных умений.

В результате изучения курса учащиеся приобретут:

Личностные результаты:

-сформированная мотивация у обучающихся к изучению математики, повышенный общеобразовательный уровень.

Метапредметные результаты:

-умение работать с различными источниками информации;

-умение анализировать результаты, делать умозаключения;

-умение графически представлять результаты;

-умение представлять результат своей деятельности, учувствовать в дискуссии.

II.УЧЕБНЫЙ ПЛАН (1год обучения)

УЧЕБНЫЙ ПЛАН (2 год обучения)

III. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРММЫ

1.Введение.

Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения. Преемственная связь с курсом школьной математики. Средние величины и неравенство Коши.

 2. Замечательные неравенства

Числовые неравенства и их свойства. Понятие положи­тельного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпре­тация и свойства. Понятия «меньше», «не больше» и «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

Основные методы установления истинности числовых неравенств. 

Сравнение двух чисел — значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств.

Основные методы решения задач на установление ис­тинности неравенств с переменными. 

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять и обосновывать (а то и опровергать) неравенства с параметрами. Неравенство-следствие. Равносильные (эквивалентные) неравенства. Равносильные задачи на доказательство (установление) или опровержение неравенств. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод усиления и ослабления, метод подстановки (метод введения новых переменных), метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод уменьшения или увеличения числа переменных, метод понижения степеней выражений, образующих левую или правую части неравенства, метод интерпретаций или моделей (векторных, тригонометрических, физических).

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Схема применения принципа (аксио­мы) математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью срав­нения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью или отношением двух членов другой последовательности.

Неравенство Коши -Буняковского и его применение к решению задач. 

Соотношение Коши - Буняковского. Геометрическая интерпретация неравенства Коши-Буняковского. Векторный вариант записи этого неравенства.

Неравенства подсказывают методы их обоснования.

Метод Штурма. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенства. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

3. Средние величины: их свойства и применение

Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств.

Средние величины в школьном курсе математики, физики. Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции. Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства. Симметрические средние. Теорема Мюрхеда. Круговые неравенства и методы их доказательства. Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек. Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши-Буняковского с по­мощью тождества Лагранжа.

4. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

Исторический экскурс. П.Л.Чебышев и его научное наследие. Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности. Одномонотонная последовательность как результат обобщения понятия монотонных последовательностей и обнаружения некото­рой «симметричности» выражений, составляющих левую и правую части неравенства Чебышева. Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

5. Генераторы замечательных неравенств.

Основные способы получения замечательных неравенств. Свойства квадратичной функции - источник простейших неравенств. Неравенство треугольника. Свойства одномонотонных последовательностей - источник замечательных неравенств (свойства двучленных и трехчленных одномонотонных по­следовательностей; свертка двух последовательностей; свойства одномонотонных последовательностей произволь­ной длины и их применение; одномонотонность нескольких последовательностей, их свойства и применения).  Применения изученных понятий и их свойств к получению новых замечательных неравенств. Неравен­ства, обобщающие одновременно и неравенство Коши-Буняковского, и неравенство Чебышева. Неравенство Иенсона. Выпуклый анализ - раздел современной математики. Свойства центра масс конечной системы материальных точек. Выпуклые фигуры и выпуклые функции. Надграфик и подграфик функции. Про­стейшие примеры применения. Выпуклость фигур и свойства центра масс конечной системы материальных точек. Исследование функций на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа. Неравенство Коши -Гельдера и неравенство Минковского. Достаточные условия вогнутости и выпуклости функции, заданной на указанном промежутке, в терминах ее производных пер­вого и второго порядка (две основные теоремы разной степени общности и «тонкости»).

6. Применение неравенств. 

Задача Дидоны (упрощен­ный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольше­го и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств.

7. Неравенства в нестандартных и олимпиадных задачах.

Решение нестандартных и олимпиадных задач.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Глава I. ЗНАКОМСТВО С ПАРАМЕТРОМ.

Эта глава адресована, в первую очередь для учащихся, имеющим минимальное представление о задачах с параметрами. Указать разделы общеобразовательной математики, в которых вообще присутствует сама идея параметра. Обратить внимание на двойственную природу параметра (будучи фиксированным, но неизвестным числом). Начать изучение аналитического метода решения задач с параметрами. Разбор заданий, где параметр заменяется числом. Существенным этапом решения является запись ответа (особенно, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значения параметра). Разбор заданий, где возникло «расслоение» решения с учётом определённых значений параметра. Обратить внимание на класс задач, где за счёт параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения (при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного…). Показать, как параметр влияет на условие равносильности уравнений и неравенств.

ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ.

В этой главе мы продолжим изучение методов решения задач с параметрами. Будут разобраны более сложные примеры.

§1 Аналитическое решение основных типов задач.

В соответствии с целью этой главы задачи классифицированы с позиции применения к ним аналитических методов исследования.

1) Параметр и поиск решения уравнений, неравенств и их систем («ветвление»).

«Ветвление» - процесс решения тех задач, где параметр «управляет» поиском значений переменной. Разбор различных случаев в зависимости от определённых значений параметра.

2) Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

Знакомство с этим классом задач состоялось в главе I. Это позволяет непосредственно перейти к более сложным примерам. Регулировка требуемого числа корней осуществляется с помощью области определения исходного уравнения. Корни одного из уравнений совокупности не зависят от параметра. Роль параметра в подобных примерах (не допустить появление новых корней).

3) Параметр и свойства решения уравнений, неравенств и их систем.

Задачи, в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо наперёд заданным подмножеством множества действительных чисел.

4) Параметр как равноправная переменная.

Параметр – переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. Аналитическое решение задач указанного класса.

§2. Свойства функций в задачах с параметрами.

Ключ решения – свойства функций. В настоящем параграфе будем отдавать предпочтение функциональному подходу. Пункты этого параграфа соответствуют стандартной схеме исследования функции.

1) Область значений функции.

Разобрать задачи, в условии которых непосредственно содержится требование поиска области значений функции. Затем решить задачи, в условии которых не содержится прямой подсказки использовать область значений функции. Рассмотрение типов задач, в которых область значений функций помогает найти далеко не очевидную замену.

2) Экстремальные свойства функций.

В этом пункте, ровно как и в предыдущем, идея поиска области значения функции будет ключевой. Основное внимание будет уделяться не на всё множество значений, а лишь некоторые (характерные) его элементы. Ими будут наибольшие и наименьшие значения функции.

3) Монотонность.

Свойства монотонных функций. Применение свойств при решении задач.

4) Чётность. Периодичность. Обратимость.

§3. Графические приёмы. Координатная плоскость(х;у).

Обращение к наглядно-графическим интерпретациям. Два основных графических приёма: - построение графического образа на координатной плоскости , второй – на .

1) Параллельный перенос.

Разобрать задачи, где членами семейства будут прямые. Затем рассмотреть семейство кривых, задаваемые уравнениями или (членами этих семейств будут «полупараболы»); семейство кривых будут образовывать окружности и полуокружности.

2) Поворот.

Во всех примерах члены семейства - прямые, центр поворота принадлежит прямой (т.е. ограничимся семейством вида , где - центр поворота). В некоторых примерах придётся решать стандартную задачу: дляпрямой семейства находить угловой коэффициент, соответствующий моменту касания с кривой. «Подводные рифы» графического метода.

3) Гомотетия. Сжатие к прямой.

Система параллельных прямых с постоянным расстоянием между соседними прямыми. Свойства кривых являются ключом к решению некоторых задач.

4) Две прямые на плоскости.

В основе решения задач данного пункта лежит вопрос об исследовании взаимного расположения двух прямых: и .

§4. Графические приёмы. Координатная плоскость .

Параметр как равноправная переменная, то ему можно «выделить» и свою координатную ось. Понятие координатной плоскости . Применение этого метода для решения основных типов задач, о которых шла речь в §1. Процесс решения схематично выглядит так: строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.

Глава III. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.

Квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединённых общей идеей – в основе их решения лежат свойства функции .

§1. «Каркас» квадратичной функции.

Дать в виде таблицы все важные свойства квадратичной функции.

1) Дискриминант, старший коэффициент.

В этом пункте рассмотриваются примеры, решение которых связано с исследованием знаков и (дискриминанта и старшего коэффициента).

2) Вершина параболы.

В этом пункте рассматриваются примеры, решение которых связано с положением вершины параболы.

§2. Корни квадратичной функции.

1) Теорема Виета.

Нет необходимости отводить здесь место каким-либо теоретическим рассуждениям. Переход непосредственно к задачам, которые и раскроют возможности применения этой теоремы.

2) Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек.

Работа с типом задач, когда дискриминант квадратичной функции окажется полным квадратом. Необходимое и достаточное условие, для того чтобы число находилось между корнями квадратичной функции . Необходимое и достаточное условие, для того чтобы число было больше корней квадратичной функции .

3) Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Проведение исследования «скрытой» в задаче квадратичной функции (приём достаточно распространённый и в немалой степени эффективный).

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ (продолжение).

§1. Применение производной.

В каждом из пяти пунктов параграфа будут разобраны (классические) типы задач на применение аппарата математического анализа, изучаемого в школе.

1) Касательная к кривой.

2) Критические точки

3) Монотонность.

4) Наибольшие и наименьшие значения функции. Оценки.

5) Построение графиков функций.

В этом пункте будут разобраны задачи, в решении которых используются наглядно-графические соображения. При построении необходимого графического образа будем пользоваться производной.

§2. Методы поиска необходимых условий.

Когда непосредственный поиск значений переменной затруднён, появляется необходимость выделения необходимых условий для получения ответа, а затем от необходимых условий обеспечивается переход к достаточным, т.е. к ответу. Таким методом решаемые задачи называют задачами с поиском необходимых условий с которыми и знакомит педагог дополнительного образования обучающихся.

1) Использование симметрии аналитических выражений.

В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет или ось симметрии, или плоскость симметрии. В той или иной форме присутствует требование единственности решения.

2) «Выгодная точка».

В этом пункте будет рассмотрен ещё один приём поиска необходимых условий. Если в задаче требуется определить значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) выполняется при всех значениях переменной из определённого множества , то, подставив какое-либо конкретное значение из , получим те значения параметра, среди которых обязательно содержатся искомые. Выбор выгодной пробной точки часто основывается на интуиции и личном опыте.

3) Разные приёмы.

Решение каждой задачи можно вести по схеме «от необходимого к достаточному». Но для одних задач этот подход оправдан, а для других нет. В одних случаях можно сразу «выйти» на достаточное условие, в других подходить к ответу, стягивая «кольца» необходимых условий. В этом пункте будут рассмотрены задачи, для которых упомянутая схема решения целесообразна. Приёмы поиска необходимых условий в каждом случае разные и в основном зависят от особенностей конкретной задачи.

IV. Методическое обеспечение занятий первого года обучения

Для обучения по данной программе используется класс ИКТ, оснащённый 12 ученическими и 1 преподавательским компьютером, проектором, экраном, принтером, сканером, интерактивной доской. На компьютерах установлено соответствующее программное обеспечение, позволяющее решать образовательные задачи. Интерактивная доска, созданная с использованием электромагнитной технологии, расширяет возможности участников образовательного процесса. Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, обобщающих занятий. Особое внимание уделяется самостоятельной работе. Согласно вышеобозначенным целям и задачам, программа методически выстраивается со значительным преобладанием практических форм занятий над лекционными. Для реализации целей и задач программы используются следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач. Доминантной же формой обучения явлется исследовательская деятельность обучающегося, которая может быть реализована как на занятиях, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все занятия носят проблемный характер и включают в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения программы определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Такая организация занятий, способствует реализации развивающих целей курса. Формами проведения итоговой проверки реализации данной дополнительной образовательной программы может быть контрольная работа или зачетная работа.

Формы, способы и средства проверки и оценки результатов освоения программы: устный опрос; тестирование, анализ текста качественных задач повышенной сложности; письменный и устный анализ графиков, анализ результатов практических работ.

Формы контроля:

-текущий контроль (тестирование, анализ результатов выполнения практических работ);

-промежуточный контроль проводится по завершению первого года обучения в виде зачетной работы

-итоговый контроль выставляется по результатам промежуточного контроля первого и второго годов обучения.

Итоговая аттестация обучающихся производиться на основании проведения итогового зачета.

V. ЛИТЕРАТУРА

1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1972.

2. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №4, 1990; №8, 1987; №9,10, 1993; №6, 1995; №2, 1970; №12, 1990.

3. Супрун В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. – Мн.: Полымя, 1998. – 108 с. – («В помощь абитуриентам и студентам»).

4. Научно-методический журнал «Математика в школе»: №2,1974; №2, 1976; №3,№4,1991; №3, 1999; №1, 1978.

5. Библиотечка « Первого сентября». Серия «Математика». Выпуск 20. Ковалева Г.И., Конкина Е.В. Функциональный метод решения уравнений и неравенств.- М.: Чистые пруды, 2008.

6. Библиотечка « Первого сентября». Серия «Математика». Выпуск 22. Корянов А.Г. Неравенства с двумя переменными: графическое и аналитическое решения - М.: Чистые пруды, 2008.

1. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе.- М.: , Айрис –пресс, 2011.

2. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. и др. Математика. Тематические тесты. Повышенный уровень. Уравнения. Неравенства. Системы. Ростов- на-Дону: Легион-М, 2011.

1. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. // Задачи с параметрами // 2002. –М.: Илекса, Харьков: Гимназия.

2. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями): Учебн. Пособие. – 2-ое изд. – М.: Наука, 1986. – 384 с.

3. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала // Репетитор. – 1991. - №2. – С. 3-13.

4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. // Необходимые условия в задачах с параметрами // 1991. №11 С. 44-49.

5. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы // Математика в школе. – 1983. - №4.– С. 36-40.

6. Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1970. – 146с.

7. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами // Под ред. Тынянкина С.А. – Волгоград 1991. – 160с.

8. Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика» /Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. – М. Вита – Пресс 2004. – 96с. – ISB №5-7755-0648-0.

9. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами.- М.: «Просвещение», 1986.

10. Родионов Е.М. Справочник по математике для поступающих в ВУЗЫ. Решение задач с параметрами. М.: МЦ «Аспект», 1992.

11. Библиотечка « Первого сентября». Серия «Математика». Выпуск 1 (13). Солуковцева Л. Линейные и дробно- линейные уравнения и неравенства с параметрами. - М.: Чистые пруды, 2007.

12. Иванов С.О. и др. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Учебно- методическое пособие под редакцией Лысенко Ф.Ф. Ростов- на-Дону: Легион-М, 2012.

Приложение № 1

Внутренняя оценка личностных и метапредметных результатов.

Анкета №1 для оценивания самими обучающимися сформированности своих личностных УУД (заполняется обучающимися)

Задание. Внимательно прочитай приведенные утверждения.

Отметь знаком *, насколько ты согласен с данным утверждением.

Метапредметные результаты подразумевают освоение обучающимися универсальных учебных действий (регулятивных, познавательных, коммуникативных).

Обучающиеся сами оценивают сформированность своих регулятивных УУД, используя

Анкета №2 «Оценка сформированности регулятивных УУД»

Анкета №3 для оценки сформированности коммуникативных УУД

Анкета №4 для оценки сформированности познавательных УУД

Для отслеживания оценки сформированности личностных, регулятивных, коммуникативных, познавательных УУД педагогами дополнительного образования используется следующая таблица с показателями сформированности УУД

Группа ___________________, Ф.И.О. педагога дополнительного образования _____________________________________________ 

Общий показатель по группе

Приложение № 2

Внешняя оценка сформированных у обучающихся компетентностей.

Уровни сформированности ключевых компетентностей.

1 балла – не достигнут необходимый уровень

2 балла – базовый уровень

3 балла – повышенный уровень

4 балла – творческий уровень

Приложение № 3

Уровни усвоения ДООП «Математика и мы»

4. Календарный учебный график первого года обучения 2017-2018 учебный год (Юдина О.И.)

4.1 Календарный учебный график второго года обучения 2017-2018 учебный год (Цыбина С.С.)

4. Календарный учебный график первого года обучения 2017-2018 учебный год (Суханова Е.А.)

4.1 Календарный учебный график второго года обучения 2017-2018 учебный год (Суханова Е.А.)