Математика и туризм (задачи про туристов)

Математика и туризм: задачи про туристов

Рулева Т.Г.

Рулева Т.Г.

турист

Рулева Т.Г.

Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2,5 часов. Скорость первого туриста равна 4,2 км/ч, а скорость второго - 5,2 км/ч. Какое расстояние было между туристами в начале движения?

А___________С_________________B

Первый пешеход вышел из А в В, второй из В в А. Расстояние, пройденное первым АС, вторым ВС. Встреча произошла через 2,5 часа после начала пути, т.е. каждый шёл 2,5 часа. Рассчитаем по формуле S=(+)*t, где (+) – скорость сближения пешеходов, S-расстояние и t-время.

1)(4,2+5,2)*2,5=9,4*2,5=23,5(км) Ответ: 23,5 км было между ними

Рулева Т.Г.

Турист прошел весь маршрут за три дня. В первый день он прошел 30% всего пути, во второй – 60% остатка, после чего ему осталось пройти на 1 км меньше, чем он пошел в первый день. Какова длина всего маршрута?

Решение: Пусть длина всего маршрута равна х (км), тогда в первый день турист прошел 0,3х (км).

После первого дня остаток пути равен х – 0,3х=0,7х (км).

Во второй день турист прошел 0,6 ⋅ 0,7x = 0,42x (км).

Туристу осталось пройти в третий день: 0,7х – 0,42х=0,28х.

По условию задачи турист прошел в третий день на 1 км меньше, чем он прошел в первый день. Отсюда имеем уравнение:

0,3х – 0,28х=1; х=50. Ответ: длина маршрута - 50км

Рулева Т.Г.

Турист проехал на поезде и на теплоходе 605 км. Средняя скорость поезда 60 км/ч, теплохода 25 км/ч. Сколько времени турист ехал на поезде, если известно, что на теплоходе он ехал на 3 часа меньше, чем на поезде?

Решение: Пусть время движения туриста на поезде – х км/ч, тогда время движения на теплоходе – (х-3) км/ч. Так как весь путь равен 605 км, то составим уравнение:

60х+25(х-3)=605 60х+25х-75=605 85х=605+75

85х=680 х=8 Ответ: турист ехал на поезде 8 часов.

на поезде

V(км/ч)

    t(ч)   

на теплоходе

60

    S(км)   

х

25

60х

х-3

25(х-3)

Рулева Т.Г.

Два туриста вышли из А и В одновременно навстречу друг другу. Они встретились в 4 км от В. Достигнув А и В, туристы сразу повернули обратно, и встретились в 2 км от А. Вторая встреча произошла через час после первой. Найдите скорости туристов и расстояние от А до В.

Пусть скорость первого туриста - х км/ч, а расстояние между городами – у км. Тогда первый турист до первой встречи затратил время (у-4)/х, а второй за это проел 4 км со скоростью 4х/(у-4). За час до второй встречи он прошел расстояние (у-4)+2км.

Первое уравнение: 4х*1/(у-4)=у-4+2 или 4х/(у-4) = у-2.

Первый турист за час до второй встречи прошел расстояние 4 + (у-2).

Второе уравнение: х*1 = у - 2 + 4, х=у+2.

  у=10, х=12

Ответ: скорость первого туриста -12км/ч, скорость второго - 8км/ч

Рулева Т.Г.

В5(ЕГЭ). Из пункта M в пункт N вышли 3 группы туристов. Первая группа двигалась через пункт A . Из пункта M в пункт A туристы шли со скоростью 3,5 км/ч. Из пункта A в пункт N – со скоростью 3,8 км/ч. Вторая группа отправилась через пункт B . Из пункта M в пункт B туристы шли со скоростью 3,6 км/ч, из пункта B в пункт N – со скоростью 4,2 км/ч. Маршрут третьей группы пролегал через пункт C . Из пункта M в пункт C туристы шли со

скоростью 3,7 км/ч, из пункта C в пункт N –

со скоростью 4,3 км/ч. Время движения (в часах)

между соседними пунктами указано на схеме.

Найдите длину (в километрах) самого короткого

маршрута из пункта M в пункт N , пройденного

туристами.

Рулева Т.Г.

Решение задачи:

1.Маршрут MAN:

3,5*3+3,8*5=10,5+19=29,5км

2.Маршрут MBN:

3,6*4,5+4,2*3=16,2+12,6=28,8км

3.Маршрут MCN:

3,7*5+4,3*3=18,5+12,9=31,4км Ответ: 28,8км

Рулева Т.Г.

В5(ЕГЭ). Три туристических маршрута из пункта A в пункт B пролегают через пункты C, D и K . На первом маршруте расстояние от пункта A до пункта C туристы прошли за 6 дней, расстояние от пункта C до пункта B туристы преодолели за 5 дней. На втором маршруте расстояние от пункта A до пункта D туристы прошли за 5 дней, а расстояние от пункта D до пункта B – за 4 дня. На третьем маршруте расстояние от пункта A до пункта K туристы прошли за 4 дня, а расстояние от пункта K до пункта B – за 6 дней. Расстояние между соседними пунктами показаны на схеме. Найдите наибольшую среднюю скорость в км/день) движения туристов из пункта A в пункт B .

Рулева Т.Г.

Решение задачи

• Маршрут ACB:

=18км/ч

• Маршрут ADB:

=19км/ч

• Маршрут AKB:

=17,5км/ч

Ответ: 19км/ч

Рулева Т.Г.

Из пункта M в пункт N, расстояние между ними 18км, вышли одновременно 2 туриста, один из них прибыл в пункт N на 54 мин. позже чем второй. Найдите скорость каждого туриста если скорость первого на 1 км/час меньше чем второго.

Решение:

Пусть х км/ч- скорость первого туриста,

(x+1) км/ч – скорость второго туриста.

По условию задачи составим уравнение:

18:x- 18:(x+1)=54:60

Решите уравнение и найдите корень x=4 скорость первого туриста, 4+1=5 – скорость второго туриста.

Ответ: 4 км/ч и 5 км/ч

Рулева Т.Г.

Турист  идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день  турист  прошел 12 километров. Определите, сколько километров прошел  турист  за шестой день, если весь путь он прошел за 10 дней, а расстояние между городами составляет 210 километров.

Пусть =12, n=10 и =210. Найти разность d.

Используем формулу: =*n

*10=210 =21

=42 9d=18 d=2

= + 5d = 12 + 5*2=22 Ответ: 22км за шестой день

Рулева Т.Г.

Два туриста вышли навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый из них вышел на полчаса раньше второго, и при встречи оказалось, что он прошел на 12 километров меньше, чем второй. Первый пришел в пункт В через 8 часов, второй – в пункт А – через 9 часов после встречи. Найдите скорости туристов.

Решение:

1) 36:6 = 6 (км/ч) – скорость первого туриста;

2) 48:12 = 4 (км/ч) – скорость второго туриста.

Ответ: 6 км/ч, 4 км/ч.

Рулева Т.Г.

Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехал 1/5 всего пути и еще 60 км, во второй 1/4 всего пути и еще 20 км и в третий день 23/80 всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами.

Пусть расстояние между городами равно х км. Тогда в первый день турист прошел х+60, во второй - х+20 и в третий - х+25. Составим уравнение: х= х+60+ х+20+ х+25

х - х - х - х=60+20=25 21х=105*80 х=400

Ответ: расстояние между городами 400км.

Рулева Т.Г.

Переправа. Имеется круглое глубокое озеро диаметром 200 метров и два дерева, одно из которых растет на берегу у самой воды, другое - по центру озера на небольшом островке. Человеку, который не умеет плавать, нужно перебраться на островок при помощи веревки, длина которой чуть больше 200 м. Как ему это сделать?

Решение: Привязав веревку одним концом к дереву, растущему на берегу, необходимо обойти с веревкой озеро по окружности и привязать второй конец веревки к тому же дереву.

В результате между деревьями будет натянута сдвоенная веревка для переправы на остров.

Рулева Т.Г.

Переправа К реке, у берега которой находилась лодка, вмещающая только двух человек, подошли два разбойника и два путешественника. Разбойники не решались напасть на туристов. Они могли бы совершить нападение, если на берегу остались бы два разбойника и один турист. У одного из разбойников была сломана рука, и он даже не мог грести веслами. Как надо переправиться через реку разбойникам и туристам, чтобы последние избежали нападения? Алгоритм переправы:

Рулева Т.Г.

Наверху скалы высотой в 100 метров находится человек. Ровно посередине скалы (на высоте 50-ти метров) растет дерево. У человека есть веревка длиной 75 метров и нож, которым он может отрезать веревку. Как ему спуститься со скалы?

Решение: Следует поделить веревку на 2 части: 25 метров и 50. Наверху скалы надо закрепить кусок веревки длиной в 25 метров и на другом его конце завязать петлю. Через петлю продеть другую часть веревки так, чтобы петля делила ее пополам. Общая длина получившейся веревки будет равна 25 + 50/2 = 50 метров. С ее помощью человек спустится на дерево и вытянет из петли 50-метровую часть веревки, сложенную пополам. Закрепив ее на дереве, можно благополучно спуститься на землю.

Рулева Т.Г.

Чтобы попасть из деревни в город, необходимо пройти 19 км. Первую часть пути турист прошел за 2 часа, а вторую - за 3 часа, причем его скорость на первом участке была на 2 км/час большей, чем на втором. Найдите скорость туриста на втором участке.

Решение : Записав условие задачи на математическом языке, получим уравнение Пройденное расстояние равно произведению скорости на время: s = v*t Имеем два участка пути s 1 + s 2 = 19, заменим расстояния соответствующими произведениями: v 1 t 1 + v 2 t 2 = 19, время известно, поэтому 2v 1 + 3v 2 = 19 Поскольку скорость на первом участке была на 2 км/час большей, чем на втором, то v 1 = v 2 + 2 Возвращаясь к первому уравнению, и подставив известные значения, получаем исходное уравнение: 2 (v 2 + 2) + 3 v 2 = 19.

Решим его: 2v 2 + 4 + 3v 2 = 19 v 2 = 3 Ответ : 3 км/ч

Рулева Т.Г.

Катер, собственная скорость которого 8 км/час, прошел по реке с туристами расстояние, равное 15км, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное туристами на весь путь, равно 4 часа.

Пусть скорость течения реки – х км/ч, скорость по течению – (8+х) км/ч, а скорость против течения – (8-х) км/ч. Составим уравнение:

+ =4 =0

4-16=0 4

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч

Рулева Т.Г.

Для самостоятельной работы

1.Турист  идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день  турист  прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел  турист  за седьмой день, если весь путь он прошел за 8 дней, а расстояние между городами составляет 108 километров. 2. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 5 км. Через 30 мин туристы встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в пункт В на 25 мин позже, чем второй в пункт А. Определите скорость каждого туриста.  3. Два туриста должны идти навстречу друг другу из турбаз А и В, расстояние между которыми 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то они встретятся через 2,5 ч после выхода второго туриста. Если же второй турист выйдет на 2 ч раньше, чем первый, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первого туриста. С какой средней скоростью идет каждый турист?

Рулева Т.Г.