Сочетаниями из
различных элементов по
элементов называются комбинации, которые составлены из данных
элементов по
элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря,
-элементные подмножества данного множества из
элементов).
Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из
элементов по
элементов в каждом обозначается
(от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”).
Числа ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e03208d8cbdbeb54e9d3d399a295f168_l3.svg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8b5a567d24fd4de8e9eb5b0c98d0cab_l3.svg)
Все сочетания из множества
по два —
.
.
Свойства чисел {\sf C}_n^k
1.
.
Действительно, каждому
-элементному подмножеству данного
-элементного множества соответствует одно и только одно
-элементное подмножество того же множества.
2.
.
Действительно, мы можем выбирать подмножества из
элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число
-элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно
; число
-элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно
.
Треугольник Паскаля
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af69d1b6b6e7aa920e04ab01efe4a5e9_l3.svg)
В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа
.
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bad07b545533ef82e540fc5f4b8d37d_l3.svg)
.
Теорема.
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e89a10c1c9f33303781640fadc66f13a_l3.svg)
Доказательство. Рассмотрим множество из
элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из
элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?
1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2e318f47cce7fb829c3a6fa7991f6a2_l3.svg)
2 способ. Выберем сначала
элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-974aab1c86fe2ce10abd12e69178af3b_l3.svg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3be5ef7eab2224bb587a26bf786f37db_l3.svg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a0feff3840ca506e3906a1b182eb51f6_l3.svg)
Домножим числитель и знаменатель этой дроби на
:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5de8f7855270abe66aae9af125ebdb3_l3.svg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-980dc52fc2c925b3def1549dd276e08c_l3.svg)
Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?
Искомое число способов
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5800c32deefa3e41eebf3dae1e0ec6de_l3.svg)
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ "КОМБИНАТОРИКА"
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ya-znau.ru/information/userfiles/01/comb.jpg)