Математика. Комбинаторное и вероятностное мышление.

Что такое комбинаторное мышление

Комбинаторным мышлением принято называть способность человека к решению комбинаторных задач. Интересен тот факт, что оно представляет собой как бы переходную форму от образного мышления к абстрактно-логическому, а также наоборот, т.к. оно включает в себя самые разные элементы: мотивационные, операционные, содержательные, абстрактно-логические и образные. Это, кстати, служит одной из причин, почему комбинаторное мышление тесно связано с логикой. Также обращаем ваше внимание на то, что данный тип мышления не может формироваться самостоятельно и для его развития необходимо прибегать к специальным педагогическим методикам.

Суть же комбинаторного мышления состоит в том, что при его активизации мозг человека занят поиском и преобразованием каких-либо одних элементов в другие, придавая им новые формы и комбинации. Вот лишь некоторые особенности этого процесса:

• Нужные для комбинирования знания являются содержательной стороной комбинаторного процесса;
• Механизмы, задействованные при комбинировании, включают в себя интеграции всего количества операций и действий, которые осуществляются воображением, восприятием и мышлением;
• Мотивационная составляющая выражается в необходимости познания человеком новых форм и комбинаций окружающей его действительности, а также в получении нового опыта и обновлении собственных психических образований.

Ко всему прочему есть еще и разные типы комбинаторного мышления. Всего их три категории:

• Наглядно-образный и наглядно-действенный типы;
• Продуктивный и репродуктивный типы;
• Теоретический и практический типы.

Обусловлено это разнообразие тем, что рассматриваемый вид мышления относится к самостоятельной форме интеллектуальной активности. 

Комбинаторика

В жизни каждого из нас время от времени бывают такие задачи, решить которые можно несколькими способами. И чтобы сделать это правильно, очень важно учесть все эти способы. Именно по этой причине нужно уметь перебирать все возможные варианты и устанавливать их количество. Как раз такие задачи и носят название комбинаторных, а их изучением занимается конкретный раздел математики – комбинаторика.

Заметим, что подобного рода задачи волновали людей с древнейших времен. Так, еще в Древнем Китае люди составляли магические квадраты, где конкретные числа по всем совпадениям всегда давали одну и ту же сумму. А древние греки занимались подсчетом числа комбинаций слов разной длины в стихотворных размерах, изучали теорию фигурных чисел, а также исследовали фигуры, которые могут получиться из элементов специальным способом разрезанного квадрата и т.д. Позже комбинаторные задачи стали появляться и в области игр, таких как кости, карты, домино, шахматы, шашки и т.п.

Сама комбинаторика возникла в 17 веке и изначально рассматривала комбинаторные задачи, касающиеся азартных игр. По мере их изучения вырабатывались общие методы решения задач и определялись формулы, позволяющие подсчитывать число комбинаций. Также появление комбинаторики тесно связано с теорией вероятности, для решения задач которой изначально было необходимо уметь вести подсчет количества различных комбинаций, подчиненных конкретным условиям. В 18 веке такие задачи изучались Г. Галилеем, Н. Тартальей, Д. Кардано, а позже – математиками П. Фермой, Б. Паскалем и другими. Множество достижений в представленной области принадлежит также Л. Эйлеру. Задачами из области комбинаторики были заинтересованы, кроме всех прочих, математики, составлявшие и разгадывавшие шифры и изучавшие древние письменности.

Сегодня же комбинаторика применятся с целью решения огромного количества теоретических и практических задач, где речь идет о возможных исходах, в том числе и благоприятных, для конкретных случаев. Применение она нашла и во всех научно-технических областях, включая биологию (посредством нее, например, исследуется состав ДНК и белков), химию, механику и другие области.

Интересно отметить, что с развитием комбинаторики было обнаружено, что, невзирая на визуальное различие вопросов, которые она изучает, большинство из них обладают одним и тем же математическим содержанием, результатом чего становятся задачи на тему множеств и их подмножеств. Со временем ученые определили ряд базовых видов задач, решение которых позволяет изучить многие комбинаторные проблемы. А одной из важнейших областей комбинаторики является теория перечислений – именно при помощи нее возможно определить количество решений разного рода комбинаторных задач. К слову добавим, что важность комбинаторики обусловлена и тем фактом, что с определением объектов и их расположением в каком-либо вообще порядке людям приходится сталкиваться, пожалуй, во всех сферах деятельности человека.

 

Комбинаторика — раздел математики о вычислении количества различных комбинаций каких-либо элементов. В заданиях по комбинаторике обычно нужно выяснить, возможно ли составить комбинацию определённого вида и сколько различных комбинаций можно составить.   Пример: 1. Сколько различных трёхзначных номеров телефона можно составить из пяти цифр? (Ответ: 125)   2. Сколькими различными способами можно составить танцевальную пару, если в коллективе 3 мальчика и 4девочки? (Ответ: 12).   3. Сколькими различными способами можно образовать пару дежурных, если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра? (Ответ: 6).   4. Сколькими различными способами можно выбрать двух учеников (одного - чистить доску, второго - подметать пол), если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?  (Ответ: 12) Один из способов решения задач комбинаторики — это рассмотреть все возможные комбинации элементов, что называется полным перебором вариантов.   Древовидная диаграмма Древовидная диаграмма — один из способов показать и систематизировать все размещения. С помощью древовидной диаграммы осуществляется полный перебор. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3, если каждую использовать только один раз? Решение: Составляется древовидная диаграмма: Ответ: можно составить 6 различных чисел.   Пример: Рассмотрим 3-й пример (см. выше): Сколькими различными способами можно образовать пару дежурных, если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?   На древовидной диаграмме видно, что можно образовать только 6 пар дежурных (Надя и Вика, Надя и Саша, Надя и Юра, Вика и Саша, Саша и Юра, Вика и Юра), т.к. каждая пара повторяется 2 раза.   Рассмотрим 4-й пример:  Сколькими различными способами можно выбрать двух учеников (одного — чистить доску, второго — подметать пол), если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?   Используется та же древовидная диаграмма, но в данном случае ответ будет 12 пар, т.к. каждая пара из диаграммы отличается. Если детей поменять местами, они выполняют уже другие функции. С помощью древовидной диаграммы были получены различные результаты, т.к. в 3 и 4 примере были рассмотрены различные виды комбинаций: сочетания и размещения.   Такого рода диаграммы в подробностях удобно рисовать только для сравнительно небольшого числа вариантов, а, например, для сотен комбинаций дерево вариантов целиком не нарисуешь. Тогда приходится действовать по-другому. Чаще всего при различных подсчетах используют правило умножения:

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. 

Таблица

В отдельных случаях для систематизации данных составляются таблицы комбинаций. Простой игровой кубик бросается 2 раза и полученные пункты перемножаются. Сколько различных произведений можно получить?  

	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

    Различные произведения — это 1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30;36 —  всего 18 различных результатов.   Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.   Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может. КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного испытания;

2. найти количество N(A) тех исходов испытания, в которых наступает событие A;

3. найти частноеN(A)N  оно и будет равно вероятности события A

Пример: Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Решение. Количество элементарных исходов (количество карт) N=36. Событие A — Появление карты червовой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события A, N(A)=9. Следовательно,P(A)=936=14=0,25

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

В нижеприведенной таблице мы покажем связь между терминами теории вероятностей и теории множеств.

Испытание с N исходами	Множество из N элементов
Отдельный исход испытания	Элемент множества
Случайное событие	Подмножество
Невозможное событие	Пустое подмножество
Достоверное событие	Подмножество, совпадающее со всем множеством
Вероятность события	Доля элементов подмножества среди всех элементов множества

Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Теорема 

 Если события A и B не совместны, то вероятность того, что наступит или A , или B, равна P(A)+P(B).

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: P(A)=1−P(A).

Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима.

Сформулируем общее правило для нахождения геометрических вероятностей.

Если площадь S(A) фигуры A разделить на площадь S(X) фигуры X , которая целиком содержит фигуру A, то получится вероятность того, что точка, случайно выбранная из фигуры X, окажется в фигуре A: P=S(A)S(X)

Аналогично поступают и с множествами на числовой прямой, и с пространственными телами. Но в этих случаях площади следует заменить или на длину числовых множеств, или на объёмы пространственных тел.