Математика. Комплексные числа.

Комплексное число это пара двух действительных чисел (x, y). Мы можем представить комплексные числа, как точки в системе координат. Пусть z - комплексное число. z = (x,y)  x - это вещественная часть z, а y - это мнимая часть z.

Комплексные числа образуют C поле комплексных чисел. Поле действительных чисел является его частью.

Если у нас есть два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) то:

z₁ = z₂ <=> x₁ = x₂ z₁ ± z₂ = (x₁, y₁) ± (x₂, y₂) = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)  z₁z₂ = (x₁, y₁)(x₂, y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + y₁x₂)

\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)} = \left( \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \right)z2​z1​​=(x2​,y2​)(x1​,y1​)​=(x22​+y22​x1​x2​+y1​y2​​,x22​+y22​x2​y1​−x1​y2​​)

Другой способ записи z это: z = x + iy, x - вещественная часть z, y - мнимая часть, а  i - мнимая единица. i² = -1, i = √-1.

Каждое комплексное число z = x + iy имеет сопряженное число z = x - iy.

• z + z = 2x - действительное число;
• z - z = i2y - мнимое число;
• z.z = x² + y² = |z|² - действительное число

Каждое комплексное число (x, y) имеет соответствующую точку в системе координат. Мы не можем сказать точка A > B, потому что мы не можем сказать так о двух комплексных числах (x₁, y₁) > (x₂, y₂)Это значит что комплексные числа не имеют порядка.

Векторная форма комплексного числа это:

z = |z|(cosθ + isinθ) = |z|e^iθ или  z = r(cos(θ) + i.sin(θ)) = r.e^i.θ

Здесь |z| - это модуль комплесного числа (совпадает с величиной OM), θ -это аргумент комплесного числа или фаза. Заштрихованный круг наверху означает модуль |z| комплексного числа z, а угол θ - аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)

Вычитание комплексных чисел:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i(b - d)

Умножение комплексных чисел:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + i(ad + bc)

Деление комплексных чисел:

(a + bi)/(c + di) = ((ac + bd) + i(bc - ad))/(c² + d²)