Математика. Квадратичные вычеты. Символы Адриена Мари Лежандра и Карла Густава Якоби. Квадратичный закон взаимности.

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А.М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который в свою очередь является частным случаем символа Кронекера-Якоби .

Символ Якоби — теоретико-числовая функция двух аргументов, введённая Карлом Якоби в 1837 году. Является квадратичным характером в кольце вычетов.

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если p,qp,q — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид 4k+1,4k+1, то два сравнения:    x2≡q(modp)x2≡q(modp)      x2≡p(modq)x2≡p(modq)   либо оба имеют решения для x,x, либо оба не имеют. Поэтому в названии закона используется слово «взаимность». Если же p,qp,q оба имеют вид 4k+3,4k+3, то решение имеет одно и только одно из указанных сравнений.  

Связанные определения

 Если для заданных целых чисел p,qp,q сравнение x2≡p(modq)x2≡p(modq) имеет решения, то pp называется квадратичным вычетом по модулю q,q,, а если решений нет, то — квадратичным невычетом по модулю qq.

С использованием этой терминологии можно квадратичный закон взаимности сформулировать следующим образом: Если p,qp,q — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид 4k+1,4k+1, то либо оба p,qp,q являются квадратичными вычетами по модулю друг друга, либо оба — невычеты. жители.