Математика. Монотонность (возрастание и убывание) функции + примеры

Промежутки монотонности

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. То есть, функция возрастает на промежутке X, если для любых x1,x2∈X, таких что x1<x2 верно неравенство f(x1)<f(x2); функция убывает на промежутке X, если для любых x1,x2∈X, таких что x1<x2верно неравенство f(x1)>f(x2).

Пример:

На этом примере функция возрастает в промежутках (−∞;x0) и (x1;+∞) и убывает в промежутке (x0;x1).

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

Функция называется возрастающей в промежутке , если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары  таких, что  справедливо  неравенство

Функция называется убывающей в промежутке , если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары  таких что  справедливо 

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция  определена и дифференцируема в промежутке . Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке , достаточно, чтобы  для всех 

Для убывания функции достаточно, чтобы  для всех 

Для исследования функции  на монотонность необходимо:

1. найти её  производную  ;
2. найти критические точки функции как решения уравнения ;
3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции
4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти промежутки монотонности функции
Решение	Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную данной функции    Найдем критические точки, для этого решим уравнение    Эти точки разбивают область определения на три интервала, занесем их в таблицу: — + — убывает возрастает убывает
Ответ	Функция  возрастает на промежутке  и убывает на промежутках

ПРИМЕР 2

Задание	Определить промежутки возрастания и убывания функции
Решение	Область определения функции   Вычислим производную заданной функции    Приравняем найденную производную к нулю и найдем корни полученного уравнения    Получаем четыре интервала, внесем их в таблицу. — + — + убывает возрастает убывает возрастает
Ответ	Функция  возрастает на промежутках  и убывает на промежутках