Математика. О касательных, проведенных в двух вершинах треугольника. Задачи + решения.

Свойства касательных широко используются при решении самых разных геометрических задач.

Свойство 1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

OA — радиус, проведенный в точку касания окружности,

c — касательная к окружности.

Свойство 2. (Свойство касательных, проведенных из одной точки) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

       AB=AC

Цветовая визуализация позволяет легко запомнить это свойство касательных.

Выделение в цвете равных отрезков касательных помогает понять ход решения задач с окружностями, вписанными в треугольник, ромб, трапецию (особенно при первом знакомстве с такими задачами).

Например, 

1) для окружности, вписанной в треугольник, по свойству касательных, проведенных из одной точки, верны три равенства:

AK=AF

BK=BM

CM=CF.

2) Для окружности, вписанной в ромб, по свойству касательных:

AF=AK, CM=CN

BF=BM, DK=DN.

3) Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, для трапеции:

AM=AP

BM=BF

CF=CN

DN=DP.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

Интересная задача

Центры   и  трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение.

Введем обозначения так, как показано на рисунке 1.

Так как данные окружности  имеют одинаковые радиусы, то

 ,  ,  ,

или

 ,  ,  ,

Сложив полученные равенства и заметив, что

 ,  , 

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

 ,  ,  ,

(так как радиусы данных окружностей равны), получим