Математика. Ортоцентр. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра в задачах.

Ортоцентр треугольника — это точка пересечения его высот.

Ортотреугольник — это треугольник, вершинами которого служат основания высот данного треугольника.

Основные свойства ортоцентра и ортотреугольника

Свойство 1. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его стороны, лежит на описанной около этого треугольника окружности. 

Свойства 2 и 3. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середины его стороны, лежит на окружности, описанной около треугольника, и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне.

Свойство 4. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Свойство 5. Угол между радиусом и стороной равен углу между высотой и стороной (все они выходят из одной вершины).

Свойство 6. Радиусы описанной окружности, проведенные к вершинам треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника.

Свойство 7. а) Стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующими сторонами данного треугольника. б) Ортоцентр остроугольного треугольника является точкой пересечения биссектрис ортотреугольника (центром его вписанной окружности).

Свойство 8. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до его ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.